§ 16. О вычислении континуальных интегралов

За последние годы в математике и физике (главным образом квантовой и статистической) все шире используется понятие континуального интеграла.

Это понятие позволяет удобно формулировать и записывать различные задачи.

Континуальный интеграл возникает там, где необходимо интегрировать функционалы, т. е. функции от функций. Он определяется по аналогии с обычным определенным интегралом вида

и записывается в виде

Вместо аргумента в континуальном интеграле появляется функция (Для определенности мы здесь и дальше берем функции одного вещественного переменного хотя континуальный интеграл рассматривают и для функций многих переменных.) Роль функции в равенстве (3.62) для континуального интеграла играет функционал

Примерами функционалов являются

Вместо отрезка интегрирования в определении континуального интеграла рассматривается некоторое множество значений, принимаемых аргументом, т. е. некоторое множество М функций (Например, все непрерывные функции на отрезке для которых

Символ дифференциала имеет здесь следующий смысл. Мы предположим, что на множестве функций М определена вполне аддитивная мера Это значит, что для некоторого класса подмножеств М множества М определены величины которые называются мерой подмножества М. При этом требуется выполнение такого условия. Если множество М имеет меру и распадается на сумму непересекающихся множеств также имеющих меру, то

Примером таких мер являются распределения вероятностей. Так, если дан какой-то случайный процесс, т. е. набор случайных функций то мерой некоторого множества случайных функций является вероятность того, что случайная функция принадлежит этому множеству.

Если множество М состоит из функций для которых то мера множества М равна вероятности того, что выбранная случайная функ при принимает значение нуль и при значение три.

Предположим, что множество функций М, по которому берется континуальный интеграл (3.63), разбито каким-то способом на непересекающиеся подмножества.

Пусть каждое из этих подмножеств имеет некоторую меру Тогда можно составить интегральную сумму

где есть значение функционала для некоторой функции принадлежащей множеству Нетрудно заметить, что сумма (3.64) аналогична обычной интегральной сумме

В сумме (3.65) величины суть меры отрезков, на которые разбит весь интервал интегрирования. Континуальный интеграл (3.62) получается из сумм (3.64) предельным переходом при размельчении разбиения множества М (более аккуратное исследование законности такого предельного перехода мы здесь не проводим).

Пример определения меры в множестве функций (ви-неровской меры) приведен в § 23.

Численное определение значений континуальных интегралов выполняется путем их сведения к многомерным обыкновенным интегралам и вычислением последних по методу Монте-Карло.

Это сведение основано на следующем факте. Пусть имеется достаточно мелкое разбиение оси конечным числом точек Тогда каждая функция, входящая в М, порождает набор значений Для обычно встречающихся функционалов всегда можно найти такую функцию от переменных, что модуль разности

может быть сделан сколь угодно мал.

Так, например, если

то

здесь можно выбрать

Величину (3.66), вообще говоря, нельзя сделать одинаково малой сразу для всех функций Однако обычно удается разбить множество М на два непересекающихся подмножества и таких, что для всех функций

из величина (3.66) равномерно меньше некоторого а интеграл по множеству

также мал.

Так как интеграл по М равен сумме интегралов

то в силу (3.67)

Но в силу того, что, какуказано выше, на функциях, входящих в множество функционал хорошо приближается функцией переменных, то

а следовательно, и

Здесь множитель возникает из-за того, что мера в пространстве функций должна быть приближена некоторой мерой с плотностью в N - мерном пространстве.

Приближенное равенство (3.69) позволяет сводить вычисление континуальных интегралов к описанной выше технике вычисления многомерных интегралов. Обычно вычисление отдельных континуальных интегралов требует специальных ухищрений для приближения многомерными при программировании на вычислительных

машинах. Примеры вычисления встречающихся в физике континуальных интегралов приведены в литературе [3], [4].

Материал настоящей главы далеко не исчерпывает тех результатов, которые накопились за последние годы в области вычисления интегралов методом статистических испытаний. Здесь рассматриваются только основные подходы к этой проблеме. Подробности читатель может почерпнуть из специальных источников, указанных в списке литературы.