§ 30. О решении методом статистических испытаний задач, связанных с массовым обслуживанием в более общей постановке

Рассмотренными выше формализованными схемами процессов обслуживания не исчерпываются возможности метода статистических испытаний. Вместе с тем и в приложениях возникают задачи, сведение которых к упомянутым схемам дает возможность получить решения лишь в первом приближении. Сюда в первую очередь относятся задачи из области автоматического управления производством, проектирования сложных технологических процессов, управления крупными обслуживающими организациями и т. д.

Формализованные схемы случайных процессов, к которым сводятся эти прикладные задачи, значительно отличаются от изученных выше. В настоящем параграфе мы рассмотрим наиболее распространенные обобщения формулировки задач, охватываемых методом статистических испытаний.

Часто реальные потоки заявок не могут быть представлены потоками вполне однородных событий. Для получения решений задач с достаточной для практики точностью приходится считаться с особенностями каждой заявки.

Например, изучая процесс функционирования автомобильного парка как системы централизованного обслуживания грузовых перевозок в хозяйстве города или района, необходимо учитывать те свойства заявок на перевозку, которые оказывают существенное влияние на его режим. К таким свойствам (помимо требуемого момента начала обслуживания) могут относиться:

— координаты пунктов погрузки и выгрузки, определяющие величину холостого и производительного пробегов автомобилей;

— состояние дорог (в зависимости от маршрутов), характеризующее среднюю скорость движения автотранспорта;

— количественные характеристики грузов (весовые и габаритные), определяющие типы и количество автомобилей, необходимых для выполнения заявки;

— характеристики требуемых сроков доставки грузов (для скоропортящихся продуктов и материалов, предназначенных для погрузки в суда и самолеты с заданным временем отправления) и т. д.

Аналогичные особенности имеют место и при рассмотрении других реальных процессов, связанных с массовым обслуживанием. Поэтому в общем случае целесообразно заявку характеризовать моментом поступления в обслуживающую систему, а также рядом непрерывных а и дискретных параметров. Таким образом, каждая заявка может быть представлена в виде вектора

Очевидно, что для приложений наибольший интерес представляют случайные потоки заявок на обслуживание. В связи с этим мы приходим к необходимости рассматривать потоки случайных векторов

Современный аппарат теории вероятностей располагает средствами для общего математического описания потоков случайных векторов как случайного процесса. Однако этот вопрос выходит за рамки рассматриваемого здесь материала. Мы ограничимся частными приемами, с нашей точки зрения достаточно удовлетворительными в практическом отношении и в то же время доступными для использования при вычислениях на существующих электронных цифровых машинах.

Весьма общее описание потока заявок можно получить следующим образом.

Представим случайный поток моментов поступления заявок в систему обслуживания как поток однородных событий. Этот поток может быть задан способами, рассмотренными выше.

Остальные случайные параметры заявок и задаются при помощи условных совместных законов распределения

Процедура получения реализаций потока заявок в этом частном случае сводится к трем этапам: 1) получение возможных значений способами, рассмотренными выше; 2) приведение условного закона распределения получение реализаций случайного вектора

Так как получение реализаций многомерных случайных векторов (см. гл. II) представляет собой весьма громоздкую процедуру, в ряде случаев целесообразно пойти на дальнейшие упрощения.

Эти упрощения обычно состоят в использовании потоков с ограниченным последействием (или даже стационарных потоков с ограниченным последействием), а также предположениях о том, что некоторые из параметров а и и являются фиксированными или случайными величинами, независимыми от остальных.

Несмотря на эти существенные ограничения, упомянутые способы позволяют достаточно точно описывать весьма широкий класс потоков заявок, встречающихся при решении практических задач. Вместе с тем получение реализаций таких потоков на электронных цифровых машинах в большинстве случаев не приводит к чрезмерно громоздким вычислениям.

Исследуя процессы функционирования обслуживающих систем, мы, как правило, сталкиваемся с многофазным обслуживанием. Кроме того, нередки случаи, когда характер реального процесса, по существу, требует обслуживания каждой заявки параллельно несколькими агрегатами, выполняющими различные функции. Например, профилактический осмотр и ремонт судов или самолетов перед выходом в рейс состоит в осмотре двигателя, электрооборудования, системы управления и т. д., причем некоторые из ремонтных работ

могут проводиться параллельно различными ремонтными бригадами.

В таких случаях целесообразно процесс обслуживания на каждой фазе представлять в виде совокупности нескольких операций.

К схеме обслуживания по совокупности независимых операций могут быть сведены некоторые реальные процессы, например рассмотренный выше профилактический ремонт судов и самолетов.

Однако типичным в приложениях является обслуживание по совокупности зависимых операций. В этом случае операции делятся на два класса: ведущие и ведомые. Обслуживание по ведущей операции может производиться независимо от того, как обстоит дело с обслуживанием по другим ведущим или ведомым операциям. Вместе с тем обслуживание по ведущей операции является необходимым условием для начала обслуживания по подчиненным ему ведомым операциям. Заметим, что одна и та же конкретная операция может быть одновременно и ведущей (по отношению к подчиненным ей ведомым) и ведомой, однако ведомая операция не может одновременно оказаться ведущей по отношению к управляющей ею ведущей операции.

В качестве примера такого разделения операций может служить схема перевозок грузов автомобилями. Выделение транспортных средств является ведущей операцией по отношению к погрузке, а последняя оказывается ведущей по отношению к эксплуатации погрузочного оборудования (кранов, блоков и т. д.). Еще более отчетливо выступает это деление признаков при рассмотрении технологического процесса горячей обработки металлических изделий. Обслуживание агрегатами, выполняющими ковку, штамповку и т. д., может производиться лишь при условии, что данная деталь имеет необходимую температуру.

Будем считать, что обслуживающий агрегат состоит из линий, могущих одновременно и независимо обслуживать заявок. В общем случае каждая линия в данный момент времени может находиться в одном из четырех состояний: 1) линия занята и выполняет обслуживание заявки, 2) линия занята, но обслуживание

заявки закончено, 3) линия свободна, но не готова начать обслуживание следующей заявки и 4) линия свободна и готова приступить к обслуживанию следующей заявки.

Каждая заявка, поступающая в агрегат, либо обслуживается, если имеются свободные линии, либо остается в системе в течение некоторого времени если в течение времени заявка не была принята к обслуживанию, то она считается потерянной.

Для характеристики режима занятости элементов обслуживания агрегата используются следующие пара-, метры:

— время обслуживания

— время занятости линий

— время приведения линий в готовность

— максимальное время пребывания заявки в системе до начала обслуживания

Параметры а также величина

являются случайными величинами, законы распределения которых зависят как от характеристик обслуживаю-, щего агрегата, таки от параметров заявок Время приведения линии в готовность обычно считается случайной величиной с законом распределения, определяемым характеристиками обслуживающего агрегата.

В качестве примера, поясняющего такого рода зави-. симость параметров от характеристик заявки, может служить процесс функционирования упоминавшегося выше автомобильного парка. В самом деле, время обслуживания в этом случае определяется координатами точек погрузки и выгрузки, а также режимом движения; по выбранному маршруту. Параметр также может оказаться зависящим от характеристики заявки: например, время пребывания заявки в системе (учитывая и время обслуживания) ограничивается срочностью доставки.

Однако изучением режима занятости элементов обслуживающего агрегата не исчерпывается общее

исследование качества обслуживания. Наряду с режимом занятости, как показывает опыт, необходимо учитывать и другие факторы, определяющие качество обслуживания.

К таким факторам в первую очередь относится надежность элементов обслуживающих систем. Способы учета надежности были вкратце рассмотрены выше.

В некоторых случаях необходимо считаться с тем обстоятельством, что при нормально работающих обслуживающих агрегатах возможны неудачные исходы обслуживания, в результате которых получается брак. Характеристикой этого фактора может служить вероятность того, что выбранная наудачу заявка будет обслужена некачественно. Часто величина считается функцией параметров заявки

Наконец, метод статистических испытаний позволяет решать задачи, связанные с массовым обслуживанием, при условии, что имеют место ненормальности в процессе функционирования или помехи. Для описания этого фактора должны быть заданы вероятностные характеристики такого аномального течения процесса.

Структура алгоритмов, позволяющих моделировать процесс обслуживания в случае расширенной формулировки задачи, в общих чертах аналогична рассмотренной выше. Характерной особенностью алгоритмов является наличие ряда операторов, вычисляющих параметры состояний процесса в зависимости от значений параметров заявки. Например, время занятости линий может быть случайной величиной, вероятностные характеристики которой являются функциями параметров

В заключение отметим, что современные электронные цифровые машины с успехом могут быть использованы для решения весьма сложных задач такого рода в соответствии с рассмотренной методикой.