§ 11. Вычисление интеграла. Частота попадания случайной величины в заданную область

Пусть -непрерывная случайная величина, принимающая свои значения в некоторой области на оси Закон распределения случайной величины задан плотностью вероятностей

Рассмотрим задачу об определении вероятности попадания случайной величины I в интервал со с фикси рованными границами a и b, содержащийся в области Если обозначить искомую вероятность

то она выражается в виде интеграла

Этот интеграл можно вычислить по методу статистических испытаний. Предположим, что имеется возможность провести эксперимент, в результате которого будут получены возможные значения случайной величины .

Если появившееся при данном испытании значение находится внутри интервала со, данное испытание будем считать удачным. После проведения испытаний подсчитаем число удачных испытаний и вычислим частоту попадания случайной величины в интервал

Располагая частотой мы можем приближенно оценить искомую вероятность на основании закона больших чисел.

Для этого воспользуемся теоремой Бернулли: если событие А имеет вероятность и если — число наступлений события А при независимых испытаниях, то, каково бы ни было постоянное

При достаточно большом числе испытаний в качестве оценки для интеграла (3.1) можно взять частоту

Однако для решения рассматриваемой задачи методом статистических испытаний нет необходимости в воспроизведении реального эксперимента. Сущность метода статистических испытаний в данном случае состоит в моделировании эксперимента при помощи случайных чисел.

Каждое испытание состоит в следующем:

1) из совокупности случайных чисел с законом распределения извлекается число

2) случайное число сравнивается с границами а и интервала со. Результаты сравнения отмечаются специальным признаком р, равным единице, если выполнено неравенство

и равным нулю, если неравенство (3.4) не выполнено;

3) полученная величина признака прибавляется к содержимому «счетчика» числа удачных испытаний («счетчика

4) к содержимому «счетчика количества испытаний» (или «счетчика прибавляется единица.

После проведения испытаний определяется приближенное значение искомой вероятности

Описанная процедура не требует запоминания всех случайных чисел, извлекаемых в процессе счета. Походу вычислений запоминаются только число испытаний и число удачных испытаний т.

Если моделирование процесса выполняется в вычислительной машине, то «счетчиком числа удачных испытаний» служит ячейка памяти, в которой хранится сумма признаков р. То обстоятельство, что в процессе счета хранить нужно только сумму признаков и количество выполненных испытаний т. е. использовать очень мало ячеек памяти, вообще характерно для метода статистических испытаний.

Изложенное показывает сущность метода статистических испытаний в применении к вычислению интегралов вида (3.1).

Для того чтобы метод статистических испытаний можно было считать не только принципиально осуществимым, но и практически приемлемым, необходимо оценить точность равенства (3.3) и на этом основании определить число испытаний N для вычисления интеграла (3.1) с достаточной точностью.

Представление о точности равенства (3.3) можно получить, рассматривая как случайную величину. Как известно, случайная величина имеет математическое ожидание

и дисперсию

Поэтому средняя квадратическая ошибка равенства (3.3) будет равна

Легко видеть, что максимум достигается при

Обсудим вопрос о точности метода статистических испытаний несколько более подробно.

Будем говорить, что равенство (3.3) имеет точность с надежностью а, если для неравенства

справедливо соотношение

Смысл соотношения (3.6) можно пояснить на примере. Пусть Тогда при систематическом употреблении формулы (3.3) можно утверждать, что в среднем в 95 случаях на каждые 100 испытаний приближенное значение искомой вероятности будет отличаться от ее истинного значения не более как на 0,01.

Свяжем величины и а с числом испытаний Первую ориентировку в этом вопросе можно получить из неравенства Чебышева, справедливого для любой случайной величины. В наших обозначениях оно имеет вид

Сопоставляя последнее выражение с (3.6), можно принять

Если подставить теперь вместо его значение из (3.5), получим

Отсюда

В соответствии с неравенством (3.8) можно вычислить число испытаний если заданы Например, если мы хотим, чтобы с надежностью погрешность не превышала 0,01 при необходимо выполнить не более испытаний.

Заметим, что формула (3.8), полученная на основании неравенства Чебышева, дает сильно завышенное значение для Более точную оценку для можно получить в том случае, если использовать закон распределения случайной величины фигурирующей в равенстве (3.6).

В рассматриваемом здесь случае величина имеет асимптотически (при нормальное распределение.

На этом основании при достаточно больших равенство (3.6) можно записать в таком виде:

где — величина критического интервала, которая выбирается из таблиц нормального распределения по заданной надежности а. Сравнивая это соотношение с (3.6), мы видим, что

или

Отсюда можно определить значение

Формулой (3.9) мы будем в ряде случаев пользоваться в дальнейшем для выбора количества испытаний

Для того чтобы наглядно представить порядок величины обеспечивающей заданную точность, положим, как и прежде, и вычислим для различных значений Результаты расчета даны в таблице 1. Рассмотрение таблицы 1 показывает, что при увеличении требований к точности расчета (уменьшение ) существенно увеличивается необходимое число испытаний Это обстоятельство является одним из серьезных ограничений применимости метода статистических испытаний, Метод статистических испытаний целесообразно применять для решения тех задач, для которых требования к точности не являются слишком жесткими.

Таблица 1. Значения при и различных

Таблица 1 показывает также, что формула (3.9) дает существенно меньшие значения для аналогичных условий по сравнению с тем, что мы имели при использовании неравенства Чебышева.

На практике определение необходимого количества испытаний затрудняется тем обстоятельством, что не

всегда бывает известным (хотя бы приближенно) значение Допустимо в целях оценки N вместо брать величину частоты Поэтому обычно имеет место следующий порядок назначения числа Сначала выбирается ориентировочно для Затем, после проведения испытаний вычисляется и по формуле (3.9) уточняется значение Если новое значение больше проводятся дополнительные испытания. В случае, когда после дополнительных испытаний происходит существенное изменение уточнение значения необходимо продолжить.

Можно также, если это не увеличивает чрезмерно объема вычислений, пользоваться максимальным для данных условий значением соответствующим

Мы рассмотрели вычисление методом статистических испытаний весьма частного случая одномерного интеграла. В выражении (3.1) подынтегральная функция является плотностью вероятностей случайной величины и поэтому она удовлетворяет требованиям:

Если мы хотим изложенный прием расчета применить для решения более широкого класса задач, т. е. для вычисления интегралов, у которых подынтегральная функция не является обязательно функцией плотности, необходимо уметь преобразовать интегралы так, чтобы требования (3.10) выполнялись. Упомянутые преобразования во многих случаях принципиально возможны, однако зачастую они будут требовать затраты труда, не меньшей, чем вычисление интеграла.

Но даже при спешном решении вопроса об удовлетворении требований (3.10) расширение возможностей приема на этом пути встретит серьезные трудности. Например, подынтегральная функция после преобразования, как правило, будет отличаться от тех стандартных законов распределения (равномерный, нормальный

и т. д.), для которых обычно имеются хорошо разработанные способы получения случайных чисел. Преобразование же случайных чисел к заданному закону распределения само по себе потребует значительной затраты труда.

Поэтому представляется целесообразным рассмотреть другой подход к вычислению интегралов методом статистических испытаний, опирающийся во всех случаях на совокупность случайных чисел с равномерным законом распределения. Забегая вперед, заметим, что его легкох распространить на сравнительно широкий класс задач. Изложенный выше прием расчета обычно используется для решения специальных вероятностных задач и оказывается в этом случае достаточно эффективным.

Рис. 5.

Итак, пусть требуется вычислить интеграл

причем подынтегральная функция удовлетворяет условию

(рис. 5). Будем рассматривать на плоскости (х, у) две области: — заданную неравенствами

— ограничеиную кривой осью и ординатами

Легко видеть, что величина интеграла в точности равна площади области , а площадь области равна единице.

Зададим в области равномерное распределение случайной точки Это означает, что вероятность попадания точки в некоторую часть области

пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения части внутри вероятность попадания точки в равна единице.

Совместная функция плотности случайных величин как это видно из заданного распределения, постоянна в области

Поэтому вероятность попадания точки в область со равна

Таким образом, величина интеграла (3.11) равняется вероятности попадания в область со случайной точки с равномерным распределением в области

Предположим, что мы в состоянии провести эксперимент, в результате которого получаются возможные координаты случайной точки Если появившаяся в результате данного испытания точка принадлежит области со, испытание будем считать удачным. После проведения испытаний подсчитаем число удачных испытаний и вычислим частоту попадания случайной точки в область со

Соображения, вполне аналогичные тем, которые были приведены выше, в связи с равенством (3.2) показывают, что в качестве приближенного значения интеграла (3.11) можно взять частоту если число испытаний достаточно велико.

В связи с вполне очевидной процедурой метода статистических испытаний, моделирующей рассмотренный эксперимент, необходимо сделать два замечания.

Первое из них касается получения координат случайных точек с равномерным распределением в области Обычно в нашем распоряжении будет совокупность (одномерная) случайных чисел с равномерным

распределением в интервале Будем выбирать из этой совокупности пары последовательных чисел и будем считать их координатами случайной точки. Легко показать, что точки с полученными таким образом координатами будут иметь равномерное распределение в области

Второе замечание относится к способу проверки факта попадания случайной точки в область . Для этой цели удобно использовать следующее обстоятельство: для всех точек, принадлежащих области , справедливо неравенство

и обратно, все точки области для которых справедливо неравенство (3.14), принадлежат области .

Точность равенства (3.13) оценивается аналогично тому, как это было сделано выше для равенства (3.3), так как здесь опять речь идет о случайных флуктуациях частоты

Предположим теперь, что необходимо вычислить интеграл

в конечных пределах

Будем считать, что интеграл (3.15) существует и функция ограничена в интервале

Обозначим наибольшее и наименьшее значения на соответственно М и

Заменой переменных

и изменением масштаба по оси преобразуем интеграл (3.15) к виду

Введем обозначения:

Тогда

где

Принимая во внимание, что функция удовлетворяет условию (3.12), можно сказать, что мы свели вычисление интеграла (3.15) к рассмотренному выше случаю (3.11).