§ 15. Об ускорении сходимости процесса вычисления интегралов методом статистических испытаний

Количество испытаний, необходимое для вычисления интеграла с заданной точностью, зависит, как было показано выше, от дисперсии соответствующей случайной величины. Существуют различные приемы преобразования задачи, позволяющие уменьшать дисперсию и, следовательно, время вычислений.

Эти приемы основаны на использовании какой-то дополнительной информации о природе подынтегральной функции, которую можно получить в результате предварительного ее исследования.

Чтобы сформулировать идею такого рода приемов, рассмотрим -мерный интеграл вида

взятый по -мерному объему V. Через здесь обозначена совокупность переменных а через -мерный дифференциал Относительно функции мы будем предполагать, что она является -мерной плотностью распределения, т. е. удовлетворяет условиям

Тогда интеграл (3.55) представляет собой математическое ожидание величины где -мерная точка имеет закон распределения

Как было показано выше, в качестве приближенного значения интеграла можно взять среднее арифметическое

По аналогии с (3.30) введем другую плотность распределения также удовлетворяющую условиям (3.56), и представим интеграл (3.55) в виде

где

Таким образом, значение интеграла можно получить, рассматривая его как математическое ожидание величины где точка распределена по закону с плотностью

Для сравнения двух различных способов представления интеграла используем дисперсию величины

Для того чтобы выражение (3.58) обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда следует, что выгоднее всего определять из условия

Однако чтобы определить таким образом новую плотность вероятности нужно было бы заранее знать значение интеграла Тем не менее возможно подобрать так, чтобы все-таки добиться уменьшения дисперсии

Для этого нужно перераспределить плотность так, чтобы наиболее вероятными были точки для которых значения близки к значению интеграла Иначе говоря, чтобы попадания случайной точки в области, где значения либо слишком велики, либо слишком малы, являлись маловероятными.

Так, например, пусть известно, что в выражении для точек принадлежащих некоторому объему содержащемуся в V, вероятность попадания в который известна и равна Тогда уменьшение дисперсии можно получить, если положить

Ясно, что является плотностью распределения, так как и

где есть часть объема V, полученная путем удаления объема

Дисперсия равна

Так как при принадлежащих то

С другой стороны,

Сравнение равенств (3.60) и (3.61) показывает, что

Таким образом, перераспределение плотности в области интегрирования приводит к уменьшению дисперсии и, тем самым, к уменьшению количества испытаний, необходимого для решения задачи с заданной точностью.

Мы не будем подробно останавливаться на конкретных приемах использования рассмотренной здесь идеи. В каждом частном случае из соображений качественного порядка можно усмотреть рациональный путь ее применения»