Главная > Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация на ЦВМ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 15. Об ускорении сходимости процесса вычисления интегралов методом статистических испытаний

Количество испытаний, необходимое для вычисления интеграла с заданной точностью, зависит, как было показано выше, от дисперсии соответствующей случайной величины. Существуют различные приемы преобразования задачи, позволяющие уменьшать дисперсию и, следовательно, время вычислений.

Эти приемы основаны на использовании какой-то дополнительной информации о природе подынтегральной функции, которую можно получить в результате предварительного ее исследования.

Чтобы сформулировать идею такого рода приемов, рассмотрим -мерный интеграл вида

взятый по -мерному объему V. Через здесь обозначена совокупность переменных а через -мерный дифференциал Относительно функции мы будем предполагать, что она является -мерной плотностью распределения, т. е. удовлетворяет условиям

Тогда интеграл (3.55) представляет собой математическое ожидание величины где -мерная точка имеет закон распределения

Как было показано выше, в качестве приближенного значения интеграла можно взять среднее арифметическое

По аналогии с (3.30) введем другую плотность распределения также удовлетворяющую условиям (3.56), и представим интеграл (3.55) в виде

где

Таким образом, значение интеграла можно получить, рассматривая его как математическое ожидание величины где точка распределена по закону с плотностью

Для сравнения двух различных способов представления интеграла используем дисперсию величины

Для того чтобы выражение (3.58) обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда следует, что выгоднее всего определять из условия

Однако чтобы определить таким образом новую плотность вероятности нужно было бы заранее знать значение интеграла Тем не менее возможно подобрать так, чтобы все-таки добиться уменьшения дисперсии

Для этого нужно перераспределить плотность так, чтобы наиболее вероятными были точки для которых значения близки к значению интеграла Иначе говоря, чтобы попадания случайной точки в области, где значения либо слишком велики, либо слишком малы, являлись маловероятными.

Так, например, пусть известно, что в выражении для точек принадлежащих некоторому объему содержащемуся в V, вероятность попадания в который известна и равна Тогда уменьшение дисперсии можно получить, если положить

Ясно, что является плотностью распределения, так как и

где есть часть объема V, полученная путем удаления объема

Дисперсия равна

Так как при принадлежащих то

С другой стороны,

Сравнение равенств (3.60) и (3.61) показывает, что

Таким образом, перераспределение плотности в области интегрирования приводит к уменьшению дисперсии и, тем самым, к уменьшению количества испытаний, необходимого для решения задачи с заданной точностью.

Мы не будем подробно останавливаться на конкретных приемах использования рассмотренной здесь идеи. В каждом частном случае из соображений качественного порядка можно усмотреть рациональный путь ее применения»

1
Оглавление
email@scask.ru