§ 6. Основное соотношение для получения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения

Для преобразования случайных чисел основную роль играет соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения, и числа распределенные равномерно в интервале (0, 1).

Чтобы получить такое соотношение, можно воспользоваться известным предложением (см., например, если случайная величина I имеет плотность распределения то распределение случайной величины

является равномерным в интервале (0, 1).

Процедура преобразования равномерно распределенных в интервале случайных чисел в случайные

числа с заданным законом распределения сводится к решению относительно уравнения

Правомочность использования такого приема вытекает из следующих соображений (рис. 2).

Рис. 2.

Соотношение (2.8) можно записать так:

Рассмотрим интервал где Сравним вероятности неравенств Легко видеть, что

Поэтому для произвольных

т. е. случайная величина имеет функцию распределения или, другими словами, функцию плотности

Соотношение (2.8) может быть непосредственно использовано для получения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения в ряде практически важных случаев.

Например, пусть требуется получить случайные числа с показательным законом распределения, заданным функцией плотности

Тогда в силу соотношения (2.8)

или

В качестве другого примера рассмотрим функцию плотности

которая находит применения при решении некоторых задач теории массового обслуживания.

Соотношение (2.8) в этом случае будет иметь вид

Поэтому

Для дальнейшего представляет интерес получение случайных чисел, имеющих функцию плотности

Из соотношения (2.8) имеем

Поэтому

Практически для получения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения при помощи соотношения (2.8) используется дискретная совокупность случайных чисел с квазиравномерным распределением в интервале (0, 1). В случае -разрядных чисел имеется возможность получить несовпадающих чисел Число должно быть таким, при котором обеспечивается необходимая точность решения задач методом статистических испытаний.

Мы рассмотрели примеры преобразования случайных чисел, встречающиеся при формировании последовательности возможных значений непрерывной случайной величины.

Для дискретной случайной величины с законом распределения

можно воспользоваться выбором значений но жребию в соответствии с вероятностями рассмотренными в предыдущем параграфе.

Необходимо иметь в виду, что в большинстве практически важных случаев уравнение (2.8) точно не решается относительно (например, нормальное распределение и т. д.). Более того, такие сравнительно простые выражения, как (2.10) и (2.12) оказываются неудобными для вычисления на электронных цифровых машинах потому, что стандартные программы универсальных цифровых вычислительных машин, предназначенные для вычисления элементарных функций, требуют для своей реализации сравнительно большого количества операций машины. В силу этих обстоятельств на практике, как правило, более выгодно использовать приближенные приемы преобразования случайных чисел, о которых речь будет идти в дальнейших параграфах настоящей главы.

Приближенные способы преобразования случайных чисел можно разделить на два принципиально отличающихся

между собою класса. Первый из них объединяет способы, основанные на приближенном решении уравнения (2.8). Сюда относятся:

— численное решение уравнения (2.8) в процессе преобразования случайных чисел;

— решение уравнения (2.8) посредством аппроксимации подынтегральной функции полиномами или другими функциями, обеспечивающими удобство преобразования случайных чисел;

— случайная выборка из таблиц, содержащих заблаговременно рассчитанные решения уравнения (2.8) (перемешивание таблиц).

Ко второму классу относятся способы, не связанные с решением уравнения (2.8):

— отбор последовательности случайных чисел с заданным законом распределения из исходной совокупности случайных чисел с равномерным распределением;

— приближенная реализация условий предельных теорем теории вероятностей и др.

Ниже подробно рассматриваются только те приемы преобразования случайных чисел, которые наиболее широко используются при массовом решении задач методом статистических испытаний.