Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 22. Более общие задачи и методыРассмотрим, например, общее линейное уравнение эллиптического типа 2-го порядка:
где С решением этого уравнения связана обобщенная задача блуждания. В этом случае вероятности перехода «пьяного» из узла в узел различны и зависят от того узла, в котором в настоящий момент находится «пьяный». Можно также рассматривать и более общие краевые условия. Так, условие вида
получится, если при попадании в ров, ограничивающий город, «пьяный» с некоторой вероятностью может выкарабкаться обратно и продолжать блуждание. В качестве примера нестационарной задачи рассмотрим уравнение теплопроводности:
Ищется функция и, зависящая от пространственных координат и от времени. Можно считать, что в область
и начальному условию
Выберем такую последовательность моментов времени:
Если выбрать разумное соотношение между масштабом времени и шагом решетки, то придем к уравнению
где Если стереть в (5.15) значок Построим теперь следующий случайный процесс, для того чтобы найти значение и в точке Решетку мы можем считать такой же, как в предыдущей задаче, но теперь «пьяный» должен проходить за единицу времени ровно один квартал. Предположим, что «пьяный» выходит из перекрестка Рис равной вероятностью попадает в один из соседних перекрестков; оттуда он аналогично передвигается дальше, причем если «пьяный» попадает на границу, то там остается. Весь процесс продолжается не более Если за
Если же он свалился в ров до истечения срока, то он платит штраф Всего таких блужданий проделаем Обозначим через в точке
Величина
(при Заметим, что Найдем математическое ожидание штрафа, заплаченного «пьяным» при выходе из точки Р. Величина штрафа принимает значения Следовательно, математическое ожидание штрафа равно
Подставим теперь в (5.16)
т. е. математическое ожидание штрафа есть решение конечноразностного уравнения теплопроводности (5.15). Краевые и начальные условия для где
Если же положить
Так как решение уравнения (5.19), удовлетворяющее условиям (5.20) и (5.21), единственно, то изложенный метод позволяет его получить. В заключение параграфа приведем второй способ решения краевой задачи для уравнения Лапласа, обеспечивающий более быструю сходимость. Оказывается, что рассмотренный выше процесс решения задачи Дирихле может быть существенно ускорен за счет того, что для круга можно написать явное решение задачи. Для этого заметим, что процесс блуждания можно связать не только с конечноразностными схемами, но и непосредственно с уравнением в частных производных эллиптического типа
Описывать этот процесс мы здесь не будем (см., например, Тогда, в случае уравнения Лапласа и области
Для центра круга
т. е. пропорциональна длине дуги. Отсюда возникает следующий способ для определения решения
Рис. 8. После того как определена дуга, на которую вышла блуждающая частица, на этой дуге берется точка После того как такой процесс блуждания производится
являющееся приближенным значением искомого решения Отмеченный способ требует меньшего количества шагов, чем предыдущие. Однако он существенно связан с особенностями уравнения Лапласа, а именно, с возможностью написать аналитическое выражение для решения в круге. Поэтому данный способ вряд ли допускает хорошие обобщения. В заключение отметим, что изложенные ранее способы решения уравнений в частных производных статистическими методами основаны на весьма общих идеях, имеющих широкую область применения.
|
1 |
Оглавление
|