§ 22. Более общие задачи и методы

Рассмотрим, например, общее линейное уравнение эллиптического типа 2-го порядка:

где .

С решением этого уравнения связана обобщенная задача блуждания.

В этом случае вероятности перехода «пьяного» из узла в узел различны и зависят от того узла, в котором в настоящий момент находится «пьяный».

Можно также рассматривать и более общие краевые условия. Так, условие вида

получится, если при попадании в ров, ограничивающий город, «пьяный» с некоторой вероятностью может выкарабкаться обратно и продолжать блуждание.

В качестве примера нестационарной задачи рассмотрим уравнение теплопроводности:

Ищется функция и, зависящая от пространственных координат и от времени.

Можно считать, что в область в которой ищется решение, вписана решетка шага Требуется найти значение функции в узлах решетки в каждый момент времени Эта функция должна удовлетворять краевому условию

и начальному условию

Выберем такую последовательность моментов времени:

Если выбрать разумное соотношение между масштабом времени и шагом решетки, то придем к уравнению

где — четыре соседних к узла.

Если стереть в (5.15) значок то получится конечно - разностное уравнение Лапласа.

Построим теперь следующий случайный процесс, для того чтобы найти значение и в точке в момент времени

Решетку мы можем считать такой же, как в предыдущей задаче, но теперь «пьяный» должен проходить за единицу времени ровно один квартал.

Предположим, что «пьяный» выходит из перекрестка Рис равной вероятностью попадает в один из соседних перекрестков; оттуда он аналогично передвигается дальше, причем если «пьяный» попадает на границу, то там остается. Весь процесс продолжается не более шагов.

Если за шагов «пьяный» не успел свалиться в ров, а оказался во внутреннем узле , то он платит штраф

Если же он свалился в ров до истечения срока, то он платит штраф где — точка границы, куда свалился «пьяный».

Всего таких блужданий проделаем Суммарный штраф, поделенный на есть приближенное значение решения конечноразностного уравнения теплопроводности (5.15), удовлетворяющее условиям (5.13) и (5.14). Чтобы это показать, вычислим математическое ожидание штрафа.

Обозначим через вероятность того, что через шагов «пьяный», выйдя из точки , окажется

в точке Легко найти условие, которому удовлетворяет эта вероятность

Величина удовлетворяет следующим граничным условиям:

(при ), где и — граничные узлы.

Заметим, что где и — любые узлы (внешние или внутренние). Наконец, так как из внешнего узла нельзя пройти во внутренний узел Р.

Найдем математическое ожидание штрафа, заплаченного «пьяным» при выходе из точки Р.

Величина штрафа принимает значения с вероятностями соответственно

Следовательно, математическое ожидание штрафа равно

Подставим теперь в (5.16) и помножим обе части на Затем подставим и помножим на Сложив все произведения, получим

т. е. математическое ожидание штрафа есть решение конечноразностного уравнения теплопроводности (5.15). Краевые и начальные условия для легко проверяют исходя из (5.17). Действительно, положим

где внешний узел. Тогда в правой части (5.18) остается один ненулевой член:

Если же положить то в (5.18) также остается один член

Так как решение уравнения (5.19), удовлетворяющее условиям (5.20) и (5.21), единственно, то изложенный метод позволяет его получить.

В заключение параграфа приведем второй способ решения краевой задачи для уравнения Лапласа, обеспечивающий более быструю сходимость.

Оказывается, что рассмотренный выше процесс решения задачи Дирихле может быть существенно ускорен за счет того, что для круга можно написать явное решение задачи.

Для этого заметим, что процесс блуждания можно связать не только с конечноразностными схемами, но и непосредственно с уравнением в частных производных эллиптического типа

Описывать этот процесс мы здесь не будем (см., например, так как непосредственное моделирование непрерывного процесса в цифровой машине невозможно. Вероятность того, что блуждающая частица попадет из точки Р области на дугу являющуюся частью границы Г области является решением уравнения (5.12), принимающим на дуге 5 значение единица, а на остальной части границы Г — значение нуль.

Тогда, в случае уравнения Лапласа и области имеющей форму круга, вероятность того, что блуждающая частица, выйдя из внутренней точки круга, попадет в дугу, заключенную между углами выражается формулой Пуассона

Для центра круга мы получаем, что эта вероятность равна

т. е. пропорциональна длине дуги.

Отсюда возникает следующий способ для определения решения уравнения Лапласа, принимающего на границе области заданные значения. Сначала строится окружность с центром в точке Р с максимальным радиусом, при котором эта окружность еще принадлежит замыканию области (рис. 8). Эта окружность разбивается на одинаковых дуг, и моделируется случайный выбор (с вероятностью попадания на одну из этих дуг.

Рис. 8.

После того как определена дуга, на которую вышла блуждающая частица, на этой дуге берется точка и с центром в этой точке опять строится максимальная окружность. Затем разыгрывается случайный выход на границу этой окружности и, следовательно, выбор точки и т. д. Если какая-то из выбранных точек попала в -окрестность граничной точки процесс блуждания обрывается и выбирается граничное значение

После того как такой процесс блуждания производится раз, образуется среднее арифметическое

являющееся приближенным значением искомого решения

Отмеченный способ требует меньшего количества шагов, чем предыдущие. Однако он существенно связан с особенностями уравнения Лапласа, а именно, с возможностью написать аналитическое выражение для решения в круге. Поэтому данный способ вряд ли допускает хорошие обобщения.

В заключение отметим, что изложенные ранее способы решения уравнений в частных производных статистическими методами основаны на весьма общих идеях, имеющих широкую область применения.