ГЛАВА VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К ЗАДАЧАМ О ПРОХОЖДЕНИИ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВА

§ 25. Простейшая схема моделирования защиты атомного реактора

Рассмотрим один важный пример, а именно, задачу расчета защиты ядерного реактора. Под защитой подразумевается внешняя оболочка (например, железобетонная), предназначенная для задержки нейтронов (точнее говоря, пропуска безопасного количества замедленных нейтронов).

Рис. 9.

Для простоты предположим, что защита имеет форму плоской пластины (рис. 9). Рассмотрим процесс, состоящий в том, что в пластину входит нейтрон. Нас интересует, с какой вероятностью он пройдет через защиту и каков будет закон распределения энергий выходных нейтронов.

Состояние нейтрона характеризуется следующими параметрами: координатой величиной скорости и углом а, который вектор скорости составляет с осью Физический процесс состоит в следующем: вошедший в пластину нейтрон проходит некоторый путь и в точке претерпевает столкновение с ядерной частицей, после

чего он приобретает новую скорость и новое направление скорости или же может исчезнуть (поглотиться).

Следует заметить, что нейтрон также может породить группу нейтронов. Этот случай здесь не рассматривается, хотя соответствующее обобщение может быть легко получено.

При дальнейшем движении нейтрон претерпит очередное столкновение в точке и изменит величину и направление скорости либо поглотится.

Процесс блуждания нейтрона может, таким образом, закончиться либо его поглощением, либо выходом из пластины (прохождением через защиту).

Искомыми величинами являются вероятность нейтрона пройти через пластину и характеристики распределения скоростей, прошедших пластину нейтронов (математическое ожидание вероятность того, что скорость превосходит выбранное значение а).

Временные характеристики в этой задаче не существенны, так как процесс стационарный.

Рассмотрим подробнее, как моделируется движение нейтронов. Состояние входящего нейтрона характеризуется величинами Прежде всего нужно определить точку первого столкновения. Примем, что число столкновений распределено по закону Пуассона. Тогда вероятность того, что нейтрон пройдет путь длины без столкновения, равна

Координата первой точки столкновения связана с длиной пройденного пути соотношением

Таким образом, нужно выбрать значение случайной величины распределенной по экспоненциальному закону (способ получения такой величины описан в § 6). Затем нужно, согласно (7.1), определить абсциссу точки столкновения.

В момент столкновения с вероятностью может произойти поглощение нейтрона; с вероятностью поглощения не происходит.

Поэтому нужно промоделировать случайное событие, происходящее с вероятностью и в случае его наступления считать, что нейтрон поглотился. Факт поглощения фиксируется, и начинается заново моделирование прохождения следующего нейтрона через пластину.

Если нейтрон не поглотился, то мы определяем новые значения величины и направления скорости нейтрона и ой.

Если рассеяние нейтрона с ядром рассматривается как неупругое, то после столкновения мы имеем некоторое распределение вероятностей для угла О, характеризующего отклонение нейтрона после столкновения от его предыдущей траектории.

Рис. 10.

Если рассматривается упругое рассеяние, то угол О определяется изменением энергии нейтрона.

Обозначим через угол, характеризующий положение плоскости, проходящей через траектории нейтрона до и после рассеяния относительно траектории нейтрона до рассеяния. В случае, когда не учитываются эффекты поляризации, угол равномерно распределен в интервал Угол, который образует траектория нейтрона после столкновения с ядром с нормалью к пластине, определяется по формуле, известной из сферической тригонометрии

На рис. 10 показано сферическое изображение соответствующих углов; точка соответствует направлению нормали к пластине.

После первого столкновения мы опять-таки из экспоненциального распределения определяем абсциссу

второй точки столкновения и аналогично предыдущему определяем дальнейшее движение нейтрона.

Процесс моделирования прекращается в следующих случаях: 1) если произойдет поглощение нейтрона; 2) если - нейтрон отразится от передней поверхности пластины; 3) если энергия нейтрона снизится до уровня энергии тепловых нейтронов и, наконец, 4) если нейтрон пройдет через пластину.

Ясно, что такое моделирование движения нейтронов можно рассматривать как систему независимых испытаний.

Рассмотрим случайную величину зависящую от результата каждого испытания и принимающую значение нуль, если процесс заканчивается одним из первых трех вариантов, и значение единица, когда нейтрон пррходит через пластину.

Легко видеть, что среднее значение величины

где — вероятность прохождения нейтрона через пластину.

Наш метод нахождения величины состоит в том, что мы полагаем приближенно

где — общее число испытаний, число благоприятных испытаний, окончившихся прохождением нейтрона через пластину.

Нормированная дисперсия величины равна

В практически интересных случаях вероятности прохождения чрезвычайно малы:

Таким образом, согласно общей оценке, число испытаний, которые надо совершить для получения хотя бы десятипроцентной точности, имеет порядок

Такой объем вычислений не под силу даже наиболее быстродействующим из существующих и конструируемых вычислительных машин. Поэтому для практических применений метода статистических испытаний к рассматриваемой задаче приходится отказаться от использования непосредственной модели физического явления, а воспользоваться искусственными приемами. Прежде чем переходить к описанию таких приемов, мы сделаем следующее замечание. В предыдущей схеме мы имели дело с непрерывным марковским процессом, состояние которого задавалось тройкой чисел энергия, угол падения и абсцисса нейтрона. Однако фактически числа задаются конечными десятичными (или двоичными) дробями, лежащими в некотором конечном промежутке, т. е. имеется лишь конечное число состояний процесса. Таким образом, и эта задача включается в общую схему марковского процесса с конечным множеством состояний. С помощью искусственных приемов значение нормированной дисперсии удается существенно уменьшить, так что получение относительной погрешности в 10% занимает уже вполне приемлемое время.

Если, кроме вероятности поглощения нейтрона, необходимо получить статистику скоростей для нейтронов, прошедших защитный слой, то используется следующий факт. Вероятность того, что вышедший нейтрон будет иметь скорость приближенно определяется как

где — количество нейтронов, прошедших через пластину, для которых выполнено неравенство