Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 28. Формирование реализаций случайных потоков однородных событийДля формирования реализаций случайных потоков однородных событий достаточно выработать реализации Способы получения реализаций случайных векторов рассматривались в главе II. Для случая многомерных векторов, задаваемых совместными функциями плотности, эта операция оказывается весьма трудоемкой и громоздкой. Последнее обстоятельство в значительной степени ограничивает практическое использование потоков однородных событий общего вида. Как было показано выше (см. гл. II), практически удобнее оказывается формирование реализаций случайных векторов, описываемых в рамках корреляционной теории. Особенно простым и практически удобным с точки зрения использования электронных цифровых машин является формирование реализаций случайных потоков с ограниченным последействием. - Пусть стационарный поток с ограниченным последействием задан функцией плотности сформировать случайные числа Рассмотрим примеры формирования реализаций случайных потоков с ограниченным последействием, имеющих наиболее широкое распространение. Начнем с простейшего (пуассоновского) потока. Кроме того, рассмотрим некоторые потоки, отличные от простейшего. Они, как упоминалось выше, могут быть использованы для аппроксимации различных потоков, встречающихся при решении прикладных задач. 1. Простейший поток.Для получения реализаций простейшего потока моменты времени
Вычисление на универсальных цифровых машинах выражения (8,12) требует сравнительно большого количества операций. Поэтому при массовых расчетах обычно пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел. Помимо тех приемов преобразования, которые были рассмотрены в главе II, можно для частного случая простейшего потока рекомендовать и некоторые другие. Например, при малых Используемые в данной задаче единицы времени (например, минуты) будем нумеровать следующим образом: будем проводить испытание, состоящее в следующем. Из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) выберем число и проверим справедливость неравенства
Если неравенство (8.13) выполнено, считаем, что заявка поступила в момент времени
Если неравенство Качество получаемых таким образом реализаций простейшего потока зависит от величины 6. При уменьшении 0 качество реализаций улучшается, но одновременно возрастает объем вычислений. 2. Поток с равномерным распределением интерваловРассмотрим ординарный стационарный поток с ограниченным последействием, для которого функция плотности
Это значит, что величины Для определения плотности потока
Так как для рассматриваемого потока математическое ожидание длительности интервала времени
В силу соотношения (8.4) функция плотности
Легко видеть, что математическое ожидание длительности первого интервала
Выработка реализаций потока рассматриваемого вида сводится к следующему. Возможные значения Чтобы получить случайные числа с законом распределения (8.19), можно воспользоваться преобразованием
где В качестве возможных значений
Случайные потоки такого типа особенно легко реализуются на электронных цифровых машинах. Вместе с тем они часто находят применение при решении прикладных задач. 3. Потоки Эрланга.Потоком Эрланга порядка
Плотность потока Эрланга
Для получения реализации потока Эрланга можно воспользоваться следующим обстоятельством. Легко показать, что интервалы Более сложной задачей оказывается выработка возможных значений Следует заметить, что выработка реализаций потоков типа Эрланга на электронных цифровых машинах не отличается простотой и удобством. Кроме того, потоки типа Эрланга зависят только от двух параметров 4. Обобщения потоков Эрланга.Иногда оказывается удобным использовать потоки, которые мы назовем обобщениями потоков Эрланга. Рассмотрим поток, у которого интервалы В общем случае
Для случая двух слагаемых
Плотность потока
Распределение первого интервала
Аналогично для случая трех слагаемых
Для получения возможных значений Выработка возможных значений Пусть речь идет о случае двух слагаемых. Тогда соотношение, связывающее величины
Учитывая то обстоятельство, что величины Последняя рекомендация относится также и к случаю, когда требуется получить возможные значения случайных величин, имеющих функцию плотности (8.30). Более простую машинную реализацию имеет поток, который мы рассмотрим в качестве другого обобщения потоков Эрланга. Пусть интервалы Например, в случае двух слагаемых с параметрами
Плотность потока такого типа
Распределение первого интервала
Для получения возможных значений Поскольку 1) выбор интервала, которому принадлежит величина 2) вычисление Для реализации первого этапа процедуры необходимо знать вероятности
Выбираем теперь из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) число Если
то
Если
величина
Наконец, если
то
Так как потребность в реализации описанной процедуры возникает сравнительно редко, можно пойти на выполнение громоздких расчетов, связанных с решением уравнений (8.36), (8.37) и (8.38) обычными численными методами. Иногда оказываются удобными для той же цели приближенные методы, рассмотренные в главе II. 5. Потоки с фиксированным минимальным интерваломДля решения ряда прикладных задач бывает необходимо рассматривать потоки, у которых интервалы В случае, когда
Если
Процедура получения реализаций потока такого типа очевидна. Параметры X и 6. Поток с переменным параметром.В качестве примера нестационарного потока рассмотрим пуассоновский поток с переменным параметром, т. е. поток со следующим законом распределения (см. [11]):
где
Величина Функция Исходя из (8.45), легко найти закон распределения интервалов времени между произвольным моментом
Дифференцируя (8.47) по и, получим функцию плотности
Заметим, что функция плотности
а в случае произвольного интервала выражается соотношением (8.48). Рассмотрим один из возможных способов получения реализаций потока с переменным параметром. Для образования случайных чисел
где соотношение для определения
Из, выражения (8.51) для каждой конкретной функции Рассмотрим более подробно простейший пример, когда мгновенная плотность потока
Тогда
Поэтому для
Разрешив уравнение (8.54) относительно
Аналогично можно получить уравнения вида (8.54) для произвольного интервала
Таким же образом можно получить соотношения для вычисления реализаций До сих пор мы рассматривали так называемые ординарные потоки однородных событий. Поток называется ординарным, если вероятность
Однако при решении прикладных задач часто приходится сталкиваться со случаями, когда наряду с одиночными поступают также групповые заявки. Групповые заявки во времени создают сгустки событий, поэтому необходимо считаться в этих случаях с возможной неординарностью потока. Для того чтобы задать неординарный поток однородных событий, необходимо помимо моментов В частном случае, когда количество наступающих событий является случайной величиной, независимой от моментов Процедура получения реализаций потока в этом случае должна содержать дополнительный акт: для каждого Мы изложим приемы образования реализаций некоторых распространенных типов потоков однородных событий. Аналогичным образом могут быть получены реализации и других потоков, встречающихся при решении прикладных задач.
|
1 |
Оглавление
|