§ 28. Формирование реализаций случайных потоков однородных событий

Для формирования реализаций случайных потоков однородных событий достаточно выработать реализации случайного вектора , описываемого законом распределения (8.2), и затем по формулам (8.1) вычислить значения моментов поступления заявок в систему обслуживания.

Способы получения реализаций случайных векторов рассматривались в главе II. Для случая многомерных векторов, задаваемых совместными функциями плотности, эта операция оказывается весьма трудоемкой и громоздкой. Последнее обстоятельство в значительной степени ограничивает практическое использование потоков однородных событий общего вида.

Как было показано выше (см. гл. II), практически удобнее оказывается формирование реализаций случайных векторов, описываемых в рамках корреляционной теории. Особенно простым и практически удобным с точки зрения использования электронных цифровых машин является формирование реализаций случайных потоков с ограниченным последействием.

- Пусть стационарный поток с ограниченным последействием задан функцией плотности Воспользовавшись соотношением (8.4), можно определить соответствующую ей функцию плотности Теперь остается

сформировать случайные числа имеющие законы распределения для для Эта операция может быть выполнена различными способами, рассмотренными в главе II.

Рассмотрим примеры формирования реализаций случайных потоков с ограниченным последействием, имеющих наиболее широкое распространение. Начнем с простейшего (пуассоновского) потока. Кроме того, рассмотрим некоторые потоки, отличные от простейшего. Они, как упоминалось выше, могут быть использованы для аппроксимации различных потоков, встречающихся при решении прикладных задач.

1. Простейший поток.

Для получения реализаций простейшего потока моменты времени определяем в соответствии с (8.1), где имеют функцию плотности (8.5). Это, как известно (см. гл. II), при переходе от случайных чисел имеющих равномерное распределение в: интервале (0,1), связано с вычислениями по формуле

Вычисление на универсальных цифровых машинах выражения (8,12) требует сравнительно большого количества операций. Поэтому при массовых расчетах обычно пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел. Помимо тех приемов преобразования, которые были рассмотрены в главе II, можно для частного случая простейшего потока рекомендовать и некоторые другие. Например, при малых оказывается удобным следующий прием образования реализаций простейшего потока, основанный на приближенном моделировании условий соответствующей предельной теоремы.

Используемые в данной задаче единицы времени (например, минуты) будем нумеровать следующим образом: Разобьем единицу времени на равные части длины где Занумеруем полученные таким образом интервалы (внутри единицы времени) номерами . Для каждого интервала

будем проводить испытание, состоящее в следующем. Из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) выберем число и проверим справедливость неравенства

Если неравенство (8.13) выполнено, считаем, что заявка поступила в момент времени

Если неравенство не выполнено, переходим к следующему интервалу.

Качество получаемых таким образом реализаций простейшего потока зависит от величины 6. При уменьшении 0 качество реализаций улучшается, но одновременно возрастает объем вычислений.

2. Поток с равномерным распределением интервалов

Рассмотрим ординарный стационарный поток с ограниченным последействием, для которого функция плотности имеет вид

Это значит, что величины распределены равномерно в интервале

Для определения плотности потока воспользуемся тем обстоятельством, что в случае стационарного потока с ограниченным последействием величина связана с математическим ожиданием соотношением

Так как для рассматриваемого потока математическое ожидание длительности интервала времени

В силу соотношения (8.4) функция плотности для первого интервала будет иметь вид

Легко видеть, что математическое ожидание длительности первого интервала

Выработка реализаций потока рассматриваемого вида сводится к следующему. Возможные значения для первого интервала должны иметь закон распределения (8.19).

Чтобы получить случайные числа с законом распределения (8.19), можно воспользоваться преобразованием

где - случайные числа с равномерным распределением в интервале (0, 1).

В качестве возможных значений для интервалов при используются случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале Очевидно, они могут быть получены преобразованием

Случайные потоки такого типа особенно легко реализуются на электронных цифровых машинах. Вместе с тем они часто находят применение при решении прикладных задач.

3. Потоки Эрланга.

Потоком Эрланга порядка называется ординарный стационарный поток с ограниченным последействием, для которого

Плотность потока Эрланга

Для получения реализации потока Эрланга можно воспользоваться следующим обстоятельством. Легко

показать, что интервалы при потока Эрланга порядка представляются в виде суммы независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром Если имеются на данной электронной вычислительной машине специальные приспособления для быстрой выработки случайных величин с показательным распределением (например, накопители для хранения таблиц см. гл. II), то интервалы можно получать суммированием последовательных значений . В противном случае более эффективными оказываются приближенные приемы.

Более сложной задачей оказывается выработка возможных значений первого интервала Преобразование равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел в возможные значения при помощи не очень сложных формул возможно только для малых значений ту когда или, в крайнем случае, . В общем случае соответствующие выражения оказываются чрезвычайно громоздкими. В связи с этим практически доступным путем получения значений представляется следующий путь. В соответствии с соотношением (8.4) для заданного вычисляются значения в точках, обеспечивающих получение величин для кусочной аппроксимации функции Далее, возможные значения получаются приближенным способом, основанным на кусочной аппроксимации

Следует заметить, что выработка реализаций потоков типа Эрланга на электронных цифровых машинах не отличается простотой и удобством. Кроме того, потоки типа Эрланга зависят только от двух параметров и т. Поэтому они не обладают особыми преимуществами как типовые схемы для аппроксимации реальных потоков. Можно указать потоки, зависящие от двух-трех параметров, имеющие заведомо более простую машинную реализацию.

4. Обобщения потоков Эрланга.

Иногда оказывается удобным использовать потоки, которые мы назовем обобщениями потоков Эрланга.

Рассмотрим поток, у которого интервалы являются суммами случайных. величин, подчиняющихся показательному закону с различными параметрами

В общем случае слагаемых

Для случая двух слагаемых

Плотность потока может быть вычислена по формуле

Распределение первого интервала имеет вид

Аналогично для случая трех слагаемых

Для получения возможных значений интервалов при можно воспользоваться процедурой, которая сводится к суммированию последовательных случайных чисел с показательным законом распределения, приведенных к соответствующим значениям параметра .

Выработка возможных значений первого интервала связана с преобразованием случайных чисел к закону распределения (8.28) или (8.30).

Пусть речь идет о случае двух слагаемых. Тогда соотношение, связывающее величины со случайными числами равномерно распределенными в интервале (0, 1), имеет вид

Учитывая то обстоятельство, что величины требуется вырабатывать сравнительно редко (один раз на каждую реализацию потока), можно решать уравнение (8.31) относительно одним из известных численных методов. Можно рекомендовать для выработки возможных значений использовать приближенные способы, рассмотренные в главе II.

Последняя рекомендация относится также и к случаю, когда требуется получить возможные значения случайных величин, имеющих функцию плотности (8.30).

Более простую машинную реализацию имеет поток, который мы рассмотрим в качестве другого обобщения потоков Эрланга.

Пусть интервалы , при являются суммами независимых случайных величин, равномерно распределенных в интервалах соответственно.

Например, в случае двух слагаемых с параметрами при получим функцию плотности в виде

Плотность потока такого типа

Распределение первого интервала

Для получения возможных значений интервалов при суммируются последовательные случайные числа с равномерным законом распределения, приведенные к соответствующим параметрам Чтобы получить преобразование, связывающее возможные значения первого интервала со случайными числами имеющими равномерное распределение в интервале (0, 1), необходимо воспользоваться соответствующими соотношениями главы II.

Поскольку распределение (8.34) имеет различный вид на интервалах процедура определения величин состоит из двух этапов:

1) выбор интервала, которому принадлежит величина

2) вычисление при помощи преобразования, соответствующего выбранному интервалу.

Для реализации первого этапа процедуры необходимо знать вероятности попадания величины в соответствующие интервалы. Эти вероятности могут быть получены интегрированием по участкам области определения

Выбираем теперь из совокупности случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1) число и сравниваем его с

Если

то принадлежит первому интервалу. В -этом случае определяется соотношением

Если

величина принадлежит второму интервалу, и тогда она может быть найдена из уравнения

Наконец, если

то принадлежит третьему интервалу и определяется соотношением

Так как потребность в реализации описанной процедуры возникает сравнительно редко, можно пойти на выполнение громоздких расчетов, связанных с решением уравнений (8.36), (8.37) и (8.38) обычными численными методами. Иногда оказываются удобными для той же цели приближенные методы, рассмотренные в главе II.

5. Потоки с фиксированным минимальным интервалом

Для решения ряда прикладных задач бывает необходимо рассматривать потоки, у которых интервалы являются суммами постоянной а и случайной величины

В случае, когда имеет показательное распределение с параметром будем иметь

Если имеет равномерное распределение в интервале длины получим

Процедура получения реализаций потока такого типа очевидна. Параметры X и могут быть рассчитаны по заданным значениям X из соотношений (8.40) и (8.43) соответственно

6. Поток с переменным параметром.

В качестве примера нестационарного потока рассмотрим пуассоновский поток с переменным параметром, т. е. поток со следующим законом распределения (см. [11]):

где

Величина является математическим ожиданием числа событий, наступающих за интервал времени

Функция представляет собой мгновенную плотность потока в момент а величина - среднюю плотность потока в интервале времени

Исходя из (8.45), легко найти закон распределения интервалов времени между произвольным моментом и моментом наступления очередного события. В самом деле,

Дифференцируя (8.47) по и, получим функцию плотности

Заметим, что функция плотности для первого интервала будет иметь вид

а в случае произвольного интервала выражается соотношением (8.48).

Рассмотрим один из возможных способов получения реализаций потока с переменным параметром. Для образования случайных чисел имеющих функцию плотности какизвёстно (см. гл: II); необходимо разрешить относительно уравнение

где -случайные числа с равномерным распределением в интервале (0 1). Если в выражение (8.50) подставить вместо функцию плотности (8.48), то

соотношение для определения будет иметь вид

Из, выражения (8.51) для каждой конкретной функции можно получить искомую последовательность интервалов

Рассмотрим более подробно простейший пример, когда мгновенная плотность потока является линейной функцией времени

Тогда в силу (8.46) будет иметь вид

Поэтому для выражение (8.51); можно записать следующим образом:

Разрешив уравнение (8.54) относительно получим

Аналогично можно получить уравнения вида (8.54) для произвольного интервала После решения такого рода уравнений получим выражения для в зависимости от

Таким же образом можно получить соотношения для вычисления реализаций при других выражениях для

До сих пор мы рассматривали так называемые ординарные потоки однородных событий. Поток называется

ординарным, если вероятность появления двух и более событий за промежуток времени при любом является величиной малой по сравнению с т. е.

Однако при решении прикладных задач часто приходится сталкиваться со случаями, когда наряду с одиночными поступают также групповые заявки. Групповые заявки во времени создают сгустки событий, поэтому необходимо считаться в этих случаях с возможной неординарностью потока.

Для того чтобы задать неординарный поток однородных событий, необходимо помимо моментов описать также количество событий, наступающих в каждый из этих моментов.

В частном случае, когда количество наступающих событий является случайной величиной, независимой от моментов достаточно задать вероятности того, что в произвольный момент поступает ровно заявок.

Процедура получения реализаций потока в этом случае должна содержать дополнительный акт: для каждого определяется случайное значение количества заявок Величина может быть определена по жребию в соответствии с вероятностями при помощи приемов, рассмотренных в главе II.

Мы изложим приемы образования реализаций некоторых распространенных типов потоков однородных событий. Аналогичным образом могут быть получены реализации и других потоков, встречающихся при решении прикладных задач.