Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 24. Моделирование случайного процессаЧислитель и знаменатель в правой части (6.26) суть средние значения случайных величин Пусть
Мы рассмотрим теперь случайную величину
Случайная величина в отличие от рассматриваемой ранее меняется дискретно, она может менять свое значение лишь в точках вида Ниже мы покажем, что при соответствующем выборе закона распределения величин некоторого марковского процесса с конечным числом состояний. Тем самым будет показано, что излагаемый метод вычисления собственных значений, основанный на приближенной реализации случайной величины Определенная нами величина
будет меньше чем Фактически нам нужно лишь, чтобы средние значения экспоненты случайных величин и участвующих в формуле (6.28), мало отличались между собой, т. е. была невелика величина
где Вычислим теперь дисперсию случайной величины
Это выражение показывает, что нормированная дисперсия, вообще говоря, очень мала. Можно было бы показать, что при В качестве величин
0 во всех остальных случаях. Нетрудно видеть, что состояния
то значение случайной связанной с нашим марковским процессом, определяется как
Таким образом, мы и здесь имеем дело с хорошо знакомой схемой. Только в данном случае «время жизни» является точно определенным. Излагаемая схема путем небольшой модификации можёт быть приспособлена не только для вычисления наименьшего собственного значения дифференциального оператора (6.1), но и для фактического нахождения значений соответствующей собственной функции. Для этого заметим, что если мы вместо введенной выше случайной величины
то будет справедливо соотношение, аналогичное (6.10):
где
Тогда, обобщая приведенные выше рассуждения, мы получим вместо (6.23) соотношение
Сравнивая (6.32) и (6.23), мы получаем соотношение для первой собственной функции оператора
которое позволяет вычислять по методу статистических испытаний значение этой функции в любой точке Все приведенные рассуждения нетрудно обобщить на случай многомерных дифференциальных операторов типа
где условию
Можно также обобщить указанную схему для вычисления следующих собственных значений дифференциального оператора. В частности, в статье [11] указывается способ вычисления второго собственного значения и рассматривается числовой пример. Отыскание наименьших собственных значений дифференциальных операторов по изложенному выше способу действительно производилось, как указывают авторы статьи [21], с помощью электронной вычислительной машины ИБМ-604. Эта машина обладает накопителем на перфокартах. При этом рассматривались два случая:
В обоих случаях были приняты значения средних значений величин Затем для получения средних значений экспонент, входящих в основную формулу (6.26), подсчитывались суммы:
Здесь через Для каждого из испытаний нужно было иметь 2000 значений случайных величин Полученные значения наименьших собственных чисел для соответствующих дифференциальных операторов можно сравнить с заранее известными значениями этих собственных чисел. Результаты такого сравнения показаны в приводимой ниже таблице.
Хорошая точность вычислений (в результате всего-навсего ста испытаний мы имеем решение в первом случае с двумя верными знаками, а во втором — относительную погрешность менее чем 6%) подтверждает сделанное выше замечание о том, что нормированная дисперсия вычисляемых случайных величин очень мала. Напомним, что, согласно приведенной в § 23 общей оценке точности метода статистических испытаний, мы имели для относительной погрешности оценку
Эта оценка дает в нашем случае
откуда нормированная дисперсия
В заключение параграфа рассмотрим вопрос о скорости вычислений. Для вычисления, например, величины
требуется, грубо говоря, 2000 операций возведения в квадрат и 3500 сложений. Всего мы имеем, таким образом, 5000 арифметических операций на одно испытание. Как было указано выше, это испытание длилось 20 мин. Следовательно, одна арифметическая операция длилась в среднем 0,24 сек. Машина ИБМ-604 является сравнительно медленной машиной, так как она использует медленнодействующие перфорационный и релейный накопители. Основанная на чисто электронном принципе, вычислительная машина позволила бы произвести вычисления в сотни раз скорее. Для многомерной задачи нужно рассматривать многомерное блуждание, аналогичное процессу, рассматривавшемуся в главе V. Для простоты рассмотрим уравнение
на всей плоскости
При аппроксимации данного процесса дискретным мы придем опять к моделированию хождения «пьяного» по бесконечному городу. При этом на каждом перекрестке с «пьяного» взимается штраф
Всего этот процесс продолжается Можно также решать задачу определения собственных значений оператора, заданного в ограниченной области, принимая для «пьяного» различные условия поведения на границе.
|
1 |
Оглавление
|