§ 24. Моделирование случайного процесса

Числитель и знаменатель в правой части (6.26) суть средние значения случайных величин (см. (6.7)). Однако указанные случайные величины связаны с непрерывным марковским процессом. Для того чтобы иметь возможность применить соотношение (6.26) к практическому вычислению собственных значений оператора нужно аппроксимировать построенный нами в начале этого параграфа непрерывный марковский процесс дискретным марковским процессом с конечным числом состояний.

Пусть суть независимые одинаково распределенные случайные величины со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Обозначим далее через сумму

Мы рассмотрим теперь случайную величину

Случайная величина в отличие от рассматриваемой ранее меняется дискретно, она может менять свое значение лишь в точках вида

Ниже мы покажем, что при соответствующем выборе закона распределения величин величина I может быть рассматриваема как функция от истории «жизни»

некоторого марковского процесса с конечным числом состояний. Тем самым будет показано, что излагаемый метод вычисления собственных значений, основанный на приближенной реализации случайной величины и вычислении эмпирических средних значений в формуле (6.28), укладывается в общую схему, развитую нами в § 23.

Определенная нами величина аппроксимирует величину по вероятности, т. е. при фиксированном для всякого значения можно подобрать такое , что вероятность неравенства

будет меньше чем

Фактически нам нужно лишь, чтобы средние значения экспоненты случайных величин и участвующих в формуле (6.28), мало отличались между собой, т. е. была невелика величина

где — закон распределения величины Путем несколько громоздких вычислений можно получить необходимую оценку.

Вычислим теперь дисперсию случайной величины Нетрудно видеть, что

Это выражение показывает, что нормированная дисперсия, вообще говоря, очень мала.

Можно было бы показать, что при нормированная дисперсия стремится к нулю, если при Таким образом, ошибка, получаемая при замене приближенного теоретического значения эмпирическим средним, должна быть сравнительно малой. Это подтверждается приводимым в заметке [21] численным примером.

В качестве величин можно было бы выбрать случайные величины, принимающие с равной вероятностью значения ± 1. Тогда излагаемую схему можно было бы представить себе в виде марковского процесса с числом состояний где Состояния этого процесса мы будем обозначать через где Переходные вероятности задаются условием

0 во всех остальных случаях.

Нетрудно видеть, что состояния являются особыми, В качестве начального состояния мы всегда выбираем состояние Если история «жизни» процесса описывается схемой

то значение случайной связанной с нашим марковским процессом, определяется как

Таким образом, мы и здесь имеем дело с хорошо знакомой схемой. Только в данном случае «время жизни» является точно определенным.

Излагаемая схема путем небольшой модификации можёт быть приспособлена не только для вычисления наименьшего собственного значения дифференциального оператора (6.1), но и для фактического нахождения значений соответствующей собственной функции.

Для этого заметим, что если мы вместо введенной выше случайной величины будем рассматривать случайную величину

то будет справедливо соотношение, аналогичное (6.10):

где -закон распределения случайной величины удовлетворяет условиям (6.9а) и (6.96), а вместо (6.9в) выполнено условие

Тогда, обобщая приведенные выше рассуждения, мы получим вместо (6.23) соотношение

Сравнивая (6.32) и (6.23), мы получаем соотношение для первой собственной функции оператора

которое позволяет вычислять по методу статистических испытаний значение этой функции в любой точке

Все приведенные рассуждения нетрудно обобщить на случай многомерных дифференциальных операторов типа

где — многомерный оператор Лапласа, а — неотрицательная функция соответствующих переменных. Для определенности рассмотрим двухмерный случай. Роль случайной величины здесь играет случайная величина определяемая следующим образом. Рассмотрим прямую сумму двух экземпляров винеровского пространства, введенного в начале параграфа. Элементами пространства служат пары непрерывных функций удовлетворяющих

условию Приращения обеих функций независимы и подчинены распределению, указанному в определении винеровского пространства. Величина определяется равенством

Можно также обобщить указанную схему для вычисления следующих собственных значений дифференциального оператора. В частности, в статье [11] указывается способ вычисления второго собственного значения и рассматривается числовой пример.

Отыскание наименьших собственных значений дифференциальных операторов по изложенному выше способу действительно производилось, как указывают авторы статьи [21], с помощью электронной вычислительной машины ИБМ-604. Эта машина обладает накопителем на перфокартах.

При этом рассматривались два случая: . В обоих случаях значения собственных чисел были известны заранее. Для ввода в машину случайных величин использовались таблицы случайных чисел, записанные на перфокартах. Каждой из величин соответствовала одна колонка (один разряд) перфокарты. Наличие в колонке пробивки четной цифры соответствовало значению Таким образом, каждая перфокарта служила для ввода 50 случайных величин. Нужно было вычислить эмпирические значения величин:

В обоих случаях были приняты значения Значения величин вычислялись по сто раз каждое, т. е. производилось 100 независимых испытаний. Каждое из таких испытаний длилось 20 мин., так что получение, например, эмпирических

средних значений величин эти величины получались в результате одного и того же испытания) занимало в общей сложности около 35 час.

Затем для получения средних значений экспонент, входящих в основную формулу (6.26), подсчитывались суммы:

Здесь через обозначено получаемое в результате испытания значение случайной величины Аналогичный смысл имеют величины

Для каждого из испытаний нужно было иметь 2000 значений случайных величин так как индекс в суммах, определяющих величины пробегает все целые значения от нуля до Для всех ста испытаний нужно было, следовательно, иметь 200 000 значений случайных величин Учитывая, что каждая перфокарта давала возможность получения 50 значений величин видим, что всего понадобилось 4000 перфокарт.

Полученные значения наименьших собственных чисел для соответствующих дифференциальных операторов можно сравнить с заранее известными значениями этих собственных чисел. Результаты такого сравнения показаны в приводимой ниже таблице.

Хорошая точность вычислений (в результате всего-навсего ста испытаний мы имеем решение в первом случае с двумя верными знаками, а во втором — относительную погрешность менее чем 6%) подтверждает сделанное выше замечание о том, что нормированная дисперсия вычисляемых случайных величин очень мала. Напомним, что, согласно приведенной в § 23 общей оценке точности метода статистических испытаний, мы имели для относительной погрешности оценку

Эта оценка дает в нашем случае

откуда нормированная дисперсия

В заключение параграфа рассмотрим вопрос о скорости вычислений. Для вычисления, например, величины

требуется, грубо говоря, 2000 операций возведения в квадрат и 3500 сложений. Всего мы имеем, таким образом, 5000 арифметических операций на одно испытание. Как было указано выше, это испытание длилось 20 мин. Следовательно, одна арифметическая операция длилась в среднем 0,24 сек. Машина ИБМ-604 является сравнительно медленной машиной, так как она использует медленнодействующие перфорационный и релейный накопители.

Основанная на чисто электронном принципе, вычислительная машина позволила бы произвести вычисления в сотни раз скорее.

Для многомерной задачи нужно рассматривать многомерное блуждание, аналогичное процессу, рассматривавшемуся

в главе V. Для простоты рассмотрим уравнение

на всей плоскости Тогда вместо случайной величины надо рассмотреть случайную точку и моделировать случайные значения интеграла

При аппроксимации данного процесса дискретным мы придем опять к моделированию хождения «пьяного» по бесконечному городу. При этом на каждом перекрестке с «пьяного» взимается штраф зависящий от номера перекрестка. Каждый раз «пьяному» дается пройти М шагов, после чего подсчитывается суммарный штраф, приближенно равный случайному значению интеграла

Всего этот процесс продолжается раз, чтобы набрать статистику значений этого интеграла.

Можно также решать задачу определения собственных значений оператора, заданного в ограниченной области, принимая для «пьяного» различные условия поведения на границе.