ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ШРЕДИНГЕРА: ПЛОТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА

Вероятно, наиболее естественной интерпретацией волны, связанной, согласно Шредингеру и де Бройлю, с электроном, является утверждение (принадлежащее Шредингеру), что волновая функция характеризует плотность вещества. При такой интерпретации считается, что масса и заряд электрона не сконцентрированы в точке, а размазаны по некоторому объему в пространстве, причем количества массы и заряда в данной точке пропорциональны квадрату волновой функции (фиг. 104).

Фиг. 104. Одна из интерпретаций волновой функции.

(Такую интерпретацию допускает именно а не сама волновая функция так как всегда больше нуля, в то время как может быть и отрицательной величиной. Количество вещества в некоторой области пространства может обратиться в нуль, однако интерпретировать отрицательную величину количества вещества весьма затруднительно.)

Отсюда вытекает требование, чтобы полная площадь под кривой зависимости равнялась массе электрона, так как ясно, что, если сложить все электронное вещество, распределенное по некоторому объему, мы должны получить количество вещества, соответствующее массе электрона.

На фиг. 105 изображен график квадрата волновой функции частицы, заключенной между двумя абсолютно твердыми стенками и находящейся в основном состоянии. Если считать, что характеризует плотность вещества, то количество вещества, приходящееся на интервал около точки равно (заштрихованная область на фиг. 105)

Фиг. 105.

В интервалах, расположенных вблизи стенок, количество вещества мало, так как величина здесь тоже мала. Полное количество

вещества должно равняться массе электрона. Таким образом,

В разобранном выше случае плотность электронного вещества мала вблизи стенок сосуда и велика в центре. Таким образом, если бы нам удалось провести измерение (повторяю: если бы нам удалось провести измерение), мы обнаружили бы, что электрон в основном сосредоточен в центре, а вблизи стенок находится малая доля его вещества. Такую интерпретацию нельзя считать в корне неправильной. Однако она имеет одно такое диковинное следствие, что приходится от этой интерпретации отказаться.

Представим (фиг. 106), что электрон, или связанная с ним волна, приближается к препятствию, скажем слабому силовому полю, вызванному определенным количеством отрицательных зарядов. Допустим, что эти отрицательные заряды жестко связаны с каким-нибудь тяжелым телом, так что их можно считать неподвижными. На электрон, движущийся слева направо, будет действовать отталкивающая сила со стороны отрицательных зарядов. С классической точки зрения движение электрона полностью определено.

Фиг. 106.

Фиг. 107.

Если он движется достаточно быстро (его энергия достаточно велика), электрон пройдет через препятствие и будет продолжать двигаться вправо; если же его энергия недостаточно велика, электрон отразится и начнет двигаться влево (фиг. 107).

Представим себе небольшой шарик, вкатывающийся без скольжения на бугор, форма которого изображена на фиг. 108. Пусть (гравитационная потенциальная энергия), где х — высота места нахождения шарика над поверхностью Земли. Тогда

Если шарик начал двигаться слева направо с поверхности Земли со скоростью то

Если

шарик не закатится наверх.

Классический электрон не может пройти через препятствие, если его энергия меньше электростатической потенциальной энергии в центре препятствия.

Фиг. 108.

Фиг. 109.

На фиг. 109 изображен случай, когда вся кинетическая энергия электрона превратилась в потенциальную, в то время как сам электрон находится на расстоянии 20 А от центра препятствия.

Однако, если для такой же ситуации воспользоваться решением уравнения Шредингера, то мы получим следующую типично волновую

Фиг. 110. Здесь показано поведение точного решения уравнения Шредингера в случае, когда волна, связанная с частицей, набегает на преграду, а) Часть волны проникает сквозь преграду и продолжает двигаться вправо, другая часть отражается; средняя энергия волны равна высоте барьера, б) Спадание той части волновой функции, которая прошла через преграду (взято из [1]),

картину. Часть материальной волны проходит через препятствие и продолжает двигаться вправо. Другая ее часть отражается и движется влево (фиг. 110 и 111).

Фиг. 111. Эта волна почти полностью проникла сквозь преграду. Ее средняя энергия равна удвоенной высоте барьера (взято из [1]).

(Полученные решения не сильно отличаются от тех картинок, которые мы наблюдали ранее при изучении поведения одномерной волны на границе между легкой и более тяжелой пружинами.)

Аналогичный эффект наблюдается в явлении, впервые обнаруженном Ньютоном и получившем название нарушенного полного внутреннего отражения. Полное внутреннее отражение происходит в том случае, когда луч света падает на границу раздела под углом, превышающим критический угол, и когда вторая среда менее плотная, чем среда, в которой распространяется свет. Если теперь к границе раздела приблизить другой кусок более плотного вещества, то полное внутреннее отражение «нарушится» и часть света пройдет во второй кусок (фиг. 112). Чем меньше расстояние между двумя призмами и чем

меньше различаются они по плотности, тем больше света начнет проходить. В данном случае пространство между призмами действует как препятствие для света. В пределе, когда препятствие имеет бесконечную ширину (вторая призма отсутствует), весь свет отражается. Когда же призмы касаются друг друга (препятствия нет), весь свет проходит или, если можно так выразиться, продолжает двигаться по инерции.

Фиг. 112.

Между этими двумя предельными случаями наблюдаются как отраженный, так и преломленный свет.

Результат получился занятный. Он еще раз показал, что волна, связанная с электроном, ведет себя подобно любой другой волне. Одномерная волна в пружине при приходе на границу раздела частично отражается и частично проходит. Такое поведение в случае пружины не вызывает никаких проблем. Оно не вызывает никаких технических проблем и при решении уравнения Шредингера. Однако интерпретация такого поведения волны весьма затруднительна. Дело в том, что если считать квадрат волновой функции плотностью электронного вещества, то полученный результат будет означать, что электрон разделился: часть его массы прошла через препятствие, а другая часть отразилась. Если теперь справа от препятствия поместить какой-нибудь детектор (фиг. 113), то этот детектор как будто бы должен зафиксировать только ту часть массы и заряда электрона, которая прошла через препятствие. Иными словами, мы должны были бы измерить величины массы и заряда, составляющие доли от массы и заряда электрона. Но это противоречит всем известным экспериментальным наблюдениям. Никто еще никогда не наблюдал, что электрон делится на две, три или четыре части; он всегда обладает зарядом и массой т. Именно это обстоятельство не позволяет истолковывать квадрат волновой функции как плотность распределения массы и заряда электрона.

Фиг. 113.