СИММЕТРИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЕРЕСТАНОВКИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ

Принцип запрета определенным образом связан с симметрией волновой функции системы многих частиц относительно перестановки тождественных частиц.

Волновая функция квантовой системы из 2, 3,..., N частиц (для простоты мы не учитываем сейчас их спины) является в общем случае функцией N координат . Координата первой частицы второй Тогда

есть волновая функция системы из частиц. При заданных значениях волновая функция определяет некоторое число. Квадрат этого числа

интерпретируется как вероятность того, что частица 1 находится в точке частица 2 — в точке

Фиг. 178,

Волновая функция системы многих частиц удовлетворяет главному свойству суперпозиции: сумма двух волновых решений тоже является решением при тех же условиях. Таким образом, вся система из частиц обладает основными свойствами волны — свойством интерференции и т. п. Все это налагает серьезные ограничения на вид волновой функции системы, состоящей из большого числа тождественных частиц. Об этих ограничениях рассказывается ниже.

Рассмотрим систему квантовых частиц (скажем, состоящую из двух электронов, как на фиг. 179); пусть электрон 1 находится в электрон 2 - в , их спины направлены в одну сторону, а волновая функция системы имеет вид

Фиг. 179.

Фиг. 180.

Представим теперь, что электроны поменялись местами: электрон 1 перешел в а электрон 2— в (фиг. 180).

Если частицы различны или если они обе — электроны, но отличающиеся один от другого (скажем, электрон 1 несколько старше электрона 2), то в таком случае имеет какой-то смысл утверждение, что система на фиг. 180 отличается от системы на фиг. 179. Если же

обе частицы тождественны во всех отношениях, то тогда становится непонятным, чем эти системы различаются между собой. С точки зрения классической теории, различить их можно, если пометить одну частицу цифрой У, другую цифрой 2, а затем следить за движением этих частиц (фиг. 181). В квантовой же теории нет никакого смысла различать между собой две тождественные частицы, так как теперь мы не в состоянии проследить за их движением.

Фиг. 181.

Если частицы перемещаются, то через некоторое время они перепутываются; если позднее мы обнаруживаем частицу, то мы никаким способом не сможем узнать, какую из двух частиц мы обнаружили (фиг. 182).

Это ограничение (если мы согласились с ним) можно выразить в виде условия, накладываемого на волновую функцию системы из двух частиц. Величина есть вероятность нахождения частицы 1 в точке и частицы 2 в точке со спинами, направленными вверх.

Фиг. 182. Электрон 1 и электрон 2 сближаются сталкиваются и рассеиваются Спрашивается, где на фигуре в) находятся электрон 1 и электрон 2?

Величина есть вероятность нахождения частицы 1 в точке и частицы 2 в точке со спинами, снова направленными вверх. Если обе частицы неразличимы между собой, то на основании вышеприведенных рассуждений можно написать, что

т. е. вероятность реализации первой ситуации (частица 1 в и частица 2 в равна вероятности реализации второй ситуации (частица частица 2 в Поскольку частицы абсолютно одинаковы, эти две ситуации физически неразличимы. Из выражения (45.1) можно сразу же получить

или

В первом случае говорят, что волновая функция симметрична относительно перестановки двух частиц; в результате мы получаем так называемую статистику Бозе. Во втором же случае говорят, что волновая функция антисимметрична относительно перестановки двух частиц, а соответствующая статистика называется статистикой Ферми.

Тогда принцип запрета выражается в виде так называемого свойства антисимметрии волновой функции:

которое означает, что волновая функция в состоянии а (электрон 1 в и электрон 2 в равна минус волновой функции в состоянии (электрон 1 в и электрон 2 в ). Если оба электрона находились бы в одном и том же месте,

то волновая функция

в силу антисимметричности была бы равна самой себе со знаком минус:

Из всех чисел этому уравнению удовлетворяет только одно — нуль. Таким образом, волновая функция двухэлектронной системы, которая подчиняется принципу запрета, равна нулю в том случае, когда координаты двух электронов совпадают; если спины электронов не направлены в разные стороны, два электрона не могут находиться слишком близко друг от друга.