43. АТОМ ВОДОРОДА

Проблема атома водорода играет в квантовой физике роль, подобную проблеме движения планет в классической физике. Эта проблема допускает строгое решение, а результаты ее решения можно непосредственно сравнить с опытом; все правила здесь четко определены, никаких сил трения нет, а следствия настолько хорошо согласуются с экспериментальными результатами, что нам ничего не остается делать, как поверить в их истинность. В этом смысле анализ атома водорода служит проверкой всей квантовой физики. Каждую деталь этой проблемы можно рассчитать и сравнить с опытными данными. Некоторые фундаментальные открытия наших дней были сделаны на основании анализа энергетических уровней именно атома водорода. И некоторые чрезвычайно точные совпадения между теорией и экспериментом были получены именно тогда, когда предсказания квантовой теории сравнивались с наблюдениями за тем же водородным атомом.

Информация, которую мы получаем при анализе строения атома водорода, легко извлекается с помощью квантовой теории, и вместе с тем она представляет интерес для атомной физики. Квантовая теория, чтобы можно было считать ее согласованной и полной, обязана объяснить результаты любого опыта, проведенного с атомом водорода. В этом же смысле понятие, скажем, о стуле, — т. е. совокупность наших знаний о свойствах этого предмета, включая его жесткость, цвет, присутствие в комнате даже в том случае, когда мы не смотрим на него, и т. д., — обязано содержать всю возможную опытную информацию о стуле.

ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

Фундаментальное свойство любой замкнутой квантовой системы состоит в том, что лишь определенные значения ее энергии являются разрешенными; в отличие от классического случая спектр энергии такой системы дискретный. В классической теории наинизшее значение энергии системы электрон — протон соответствует состоянию, при котором электрон совмещается с протоном и покоится. В этом случае его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная обращается в минус бесконечность. В квантовой же теории дело обстоит по-другому, и мы теперь знаем несколько объяснений такого поведения квантовой системы. Например, используя принцип неопределенности, можно показать, что, пытаясь точно совместить положение электрона с положением протона, мы тем самым вносим большую неопределенность в

величину его скорости, а это проявляется в увеличении кинетической энергии электрона.

Для того чтобы проиллюстрировать, как на деле реализуются подобные квантовомеханические идеи, выведем еще раз с помощью простых рассуждений энергию основного состояния атома водорода. Полная энергия электрона, вращающегося по круговой орбите вокруг протона, равна

Используя соотношения де Бройля

и предполагая, что электрон находится на наинизшей орбите получаем

В результате наинизшая энергия системы окажется функцией лишь расстояния между электроном и протоном:

Этот результат резко отличается от соответствующего классического выражения, в которое импульс и расстояние входят совершенно независимым образом, так что (это мы уже отмечали ранее) минимальное значение энергии получается при . В квантовой теории это невозможно. Между существует связь: при стремлении к нулю член, описывающий потенциальную энергию в (43.5), становится, как и раньше, бесконечно большой отрицательной величиной, однако член, характеризующий кинетическую энергию системы, при этом возрастает, причем быстрее первого члена. Поэтому при уменьшении полная энергия возрастает; при стремлении же к бесконечности она становится очень маленькой отрицательной величиной (фиг. 134). Энергия минимальна в какой-то точке Координату этой точки, где энергия минимальна, можно вычислить. Если бы мяч катался во впадине, по форме совпадающей с кривой на фиг. 134, то он остановился бы в конце концов именно в этой точке. Оценить величину можно с помощью аккуратного графика. Результат вычисления имеет вид:

Фиг. 134.

Это расстояние, при котором энергия минимальна, определяет так называемый боровский радиус атома водорода, равный см. Далее, минимальная энергия равна

что в точности совпадает со значением энергии атома водорода в основном состоянии. Чтобы ионизовать атом, т. е. оторвать электрон от протона, необходимо затратить энергию именно 13,6 эВ.

Может показаться удивительным, что с помощью таких простых расчетов нам удалось вычислить энергию основного состояния атома водорода; конечно, не все проблемы так просты. Однако использованные нами приемы составляют основу чрезвычайно общего и мощного метода решения задач квантовой теории. Этот метод опирается на тот факт, что основной квантовый уровень системы соответствует минимальному значению энергии системы.