СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ КУЛОНОВСКОЙ СИЛЫ. АЗИМУТАЛЬНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

Кулоновская сила, удерживающая электрон в атоме водорода вблизи протона, обладает максимальной возможной симметрией относительно поворотов вокруг точки в пространстве. Вид ее эквипотенциальных поверхностей (сфер) не изменяется (является инвариантом) при повороте системы на любой угол (фиг. 149).

Фиг. 149.

Такая вращательная симметрия физически означает, что сила, действующая между электроном и протоном (как и гравитационная сила), зависит только от расстояния между этими частицами. Если вращать электрон вокруг протона по поверхности сферы, то сила их взаимодействия будет оставаться постоянной. Можно противопоставить этот случай другому гипотетическому случаю, когда величина силы не остается неизменной при вращении системы и соответствующие эквипотенциальные поверхности представляют собой не сферы, а произвольные поверхности, одна из которых изображена на фиг. 150.

Фиг. 150. Когда сила не инвариантна относительно поворотов, сферы не являются эквипотенциальными поверхностями; в этом случае сила зависит не только от расстояния между двумя телами, но и от их взаимной ориентации.

Энергетические уровни одномерной квантовой системы, рассмотренной в гл. 39, характеризуются одним числом (называемым квантовым числом), которое определяет длину волны соответствующей волны де Бройля:

и энергию системы

Уровни энергии двумерной квантовой системы, рассмотренной выше, определяются подобным же образом двумя квантовыми числами а трехмерной системы — тремя числами Конкретный выбор чисел соответствует тем величинам, которые в данном случае сохраняются, — компонентам импульса в -направлениях.

Инвариантность силовых систем относительно вращений (системы обладают симметрией сферы) приводит как в классической, так и в квантовой теориях к сохранению углового момента системы. В случае планетарной системы этот вывод заключен во втором законе Кеплера,

Фиг. 151. В случае круговых орбит сохранение углового момента (величина) означает, что скорость должна оставаться неизменной. Это условие содержится в утверждении, что за равные промежутки времени радиус, соединяющий частицу с центром, заметает равные площади. (Площадь, заметенная радиусом за время равна

Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает за равные времена равные площади; этот же закон справедлив и в случае электрона, вращающегося вокруг протона (фиг. 151). В таких силовых системах компоненты импульса в и -направлениях не являются постоянными движения (как в случае кубической системы, рассмотренной ранее). Поэтому соответствующие им квантовые числа непригодны для характеристики системы. (Эти квантовые числа, если их ввести, будут изменяться со временем.) Чтобы получить некоторые квантовые числа сферически симметричной системы, следует обратиться к ее угловым моментам.

Угловой момент частицы, заключенной в квадратном сосуде, не является константой движения (фиг. 152).

Фиг. 152.

Фиг. 153.

При движении частицы вверх ее угловой момент относительно центра равен (направлен против движения часовой стрелки), а при движении частицы вниз он равен — (направлен по движению часовой стрелки). Другими словами, после отражения частицы от стенки ее угловой момент изменяет направление,

Если же эта частица заключена в круглом сосуде (вид которого не изменяется при поворотах), то ее угловой момент, равный направлен против движения часовой стрелки и не изменяется при отражении частицы от стенки сосуда (фиг. 153). Вместе с тем в квадратном сосуде в отличие от круглого сохраняются величины компонент импульса частицы в обоих направлениях.

Величине и направлению углового момента соответствуют так называемые азимутальные (или орбитальные) волны де Бройля и азимутальные квантовые числа. В рассматриваемом случае, как и в теории Бора и аналогично случаю частицы, заключенной в кубическом сосуде, в качестве возможных решений уравнения Шредингера могут выступать лишь определенные стоячие волны де Бройля (соответствующие величине и направлению углового момента). Эти волны характеризуются следующими квантовыми числами:

Первое число связано с угловым моментом системы по формуле (табл. 2.):

Таблица 2

Второе число пробегает все целые значения от до и при заданном I имеет значений (табл, 3),

Таблица 3

Квантовое число соответствует компоненте углового момента вдоль некоторого направления в пространстве, например направления приложенного магнитного поля:

Таким образом, как величина, так и направление углового момента (как и в случае стоячих волн де Бройля в сосуде) принимают в отличие от классического вектора углового момента лишь дискретные значения, определяемые целыми числами (фиг. 154).

Фиг. 154. Величина вектора квантового углового момента характеризуется целым числом I (здесь 1—2), а его компонента в вертикальном направлении — целым числом (здесь ). Величину можно интерпретировать как компоненту углового момента в вертикальном направлении, так как она не превышает I (компонента вектора не может быть больше самого вектора). В отличие от классического случая вектор квантового момента может иметь лишь строго определенные направления в пространстве. (Исторически такое поведение квантового момента получило название пространственного квантования.)

Интересно, понравилось бы это Пифагору?