НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЭЛЕКТРОНЫ, ЗАКЛЮЧЕННЫЕ В СОСУДЕ, — ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ МЕТАЛЛА

В качестве наглядного примера рассмотрим систему из квантовых частиц, заключенных в одномерном сосуде длиной Если обобщить этот случай на трехмерный сосуд — куб, то можно получить простую модель поведения электронов в металлах, которая по крайней мере качественно описывает большинство свойств обычных металлов: их реакцию на внешние электрическое и магнитное поля, их удельные теплоемкости и т. д.

Как мы уже установили ранее, волновыми функциями квантовой частицы, заключенной в одномерном сосуде, являются стоячие волны де Бройля с длинами волн

а энергия этой частицы

В случае одной частицы наинизшее состояние системы характеризуется значением (фиг, 183):

Если в сосуде находится несколько невзаимодействующих друг с другом частиц (между частицами не действуют силы), то полную волновую функцию системы можно сконструировать, приписывая каждой частице одну из упомянутых выше стоячих волн де Бройля,

Фиг. 183.

Представим теперь, что в сосуде заключены две квантовые частицы. Если эти частицы бозоны, то наинизшему состоянию системы будет соответствовать случай, когда обе частицы описываются стоячей волной де Бройля с длиной волны 21 (фиг. 184):

Если же они фермионы, то, согласно принципу запрета, они не могут характеризоваться одинаковыми квантовыми числами.

Фиг. 184.

Фиг. 185.

Фиг. 186.

Поэтому, если частицы описываются одинаковыми волнами де Бройля, их спины должны быть направлены в противоположные стороны (фиг. 185):

При добавлении третьего, четвертого или бозона увеличивается лишь число частиц, находящихся в наинизшем состоянии, которое описывается волной де Бройля с длиной волны 21 (фиг, 186):

(Именно благодаря этому свойству бозонов с их помощью можно построить классическую волну. Чем большее число бозонов описывается одной и той же волновой функцией, тем больше становится вероятность их нахождения в заданном квантовом состоянии, что придает системе свойство классического непрерывного поля, например электромагнитного.)

Если же к двум фермионам добавляется третий, четвертый или фермион, то наблюдается совсем иная картина. Третий фермион не может быть описан волной де Бройля с длиной волны так как в этом, случае в какую сторону ни был бы направлен его спин, характеризующие его квантовые числа совпадали бы с квантовыми числами какой-либо из двух начальных частиц, — а это невозможно на основании принципа запрета.

Фиг. 187.

Фиг. 188

Поэтому для описания третьего фермиона следует выбрать следующую волну де Бройля. В результате основное состояние системы из трех фермионов характеризуется следующими параметрами (фиг. 187):

В случае фермионов (фиг. 188)

а энергия системы

Таким образом, влияние принципа запрета на волновую функцию системы из большого числа фермионов сказывается в том, фермионы не могут все находиться в наинизшем квантовом состоянии (фиг. 189). Наинизшая энергия этой системы значительно превышает соответствующую энергию системы из такого же числа бозонов. В результате энергия основного состояния электронов в металле оказывается чрезвычайно большой величиной, и для дальнейших взаимодействий

таются свободными лишь такие уровни, которые располагаются выше последнего занятого. Волновая функция системы взаимодействующих частиц отличается от рассмотренной выше волновой функции из-за наличия сил, действующих между частицами.

Фиг. 189. Сравнение одночастичных уровней, заполненных 8 фермионами и 8 бозонами. Для бозонов (основное состояние), а для фермионов (основное состояние).

Однако, как мы убедимся при обсуждении периодической таблицы элементов, многие ее качественные свойства остаются прежними.