О ПРИРОДЕ ВЫРОЖДЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Ранее мы получили структуру энергетических уровней частицы, заключенной между двумя стенками, подбирая такие стоячие волны между этими стенками, которым отвечали все более короткие длины волн. Структура уровней атома водорода получается с помощью примерно такого же способа, однако соответствующие расчеты в случае атома водорода значительно сложнее, так как 1) он является трехмерной системой и 2) вместо сосуда следует рассматривать притягивающую силу, величина которой изменяется с расстоянием. Прежде всего рассмотрим некоторые новые свойства структуры энергетических уровней, появляющиеся в случае двух- или трехмерной квантовой системы, обобщая проанализированную ранее систему (частица заключена между двумя стенками).

Фиг. 135.

Для одномерной квантовой системы, ограниченной двумя стенками (фиг. 135), возможные решения уравнения Шредингера соответствуют волнам де Бройля с длинами волн

и с энергиями

На фиг. 136 изображена диаграмма значений энергии в зависимости от Разности значений энергии на соседних уровнях относятся друг

к другу как нечетные целые числа, начиная с единицы:

Рассмотрим теперь ту же квантовую частицу, но заключенную не между двумя стенками в одном измерении, а в прямоугольнике со сторонами (фиг. 137).

Фиг. 136.

Фиг. 137.

Как и в классическом случае, движение частицы можно разложить на два независимых движения: одно в направлении а другое в направлении

Возможность выбора стоячих волн в направлениях х и у и независимость этих волн друг от друга вытекают из того, что силы, действующие вдоль вертикальных или горизонтальных сторон прямоугольника, изменяют лишь направление или -компоненты импульса, оставляя величину импульса неизменной (угол падения равен углу отражения).

Фиг. 138. Вертикальная компонента и величина горизонтальной компоненты импульса остаются постоянными.

Фиг. 139.

Таким образом, величины компонент импульса в направлениях х и у являются константами движения (фиг. 138). Если боковые стороны ограничивающей области не параллельны между собой, то это условие не выполняется (фиг. 139).

Решения уравнения Шредингера соответствуют волнам де Бройля в х-направлении (таким же, как в одномерном случае) (фиг. 140) с

и аналогичным волнам де Бройля в у-направлении (фиг. 141) с

Фиг. 140.

Фиг. 141.

Например, одно из возможных решений соответствует волне с

Такие двумерные волны можно действительно наблюдать при соответствующих условиях на поверхности прямоугольного барабана (фиг. 142).

Фиг. 142. Картины стоячих волн, возбуждаемых на поверхности прямоугольного барабана.

Энергия двумерной квантовой системы равна

Рассмотрим в качестве простой иллюстрации явления, имеющего исключительно важные следствия, два состояния системы с

Если стороны прямоугольника равны между собой то в обоих этих состояниях система обладает одинаковой энергией:

В этом случае общее выражение для энергии системы имеет вид

Отсюда видно, что всем комбинациям таким, что сумма равна одному и тому же числу, отвечает одно и то же значение энергии.

Фиг. 143. Зависимость нескольких первых энергетических уровней от квантовых чисел, если частица заключена в двумерном прямоугольном сосуде, у которого (сплошные линии) и (штриховая линия).

Два или большее число квантовых состояний, обладающих одинаковыми энергиями, называются вырожденными; это слово было позаимствовано из обиходного языка, только его наделили специальным техническим значением.

Фиг. 144. При повороте на прямоугольник занимает другое положение — он выглядит по-иному. Квадрат же, повернутый на те ничем не отличается от исходной фигуры. Можно возразить, что, хотя квадрат и выглядит после поворота точно так же, как и вначале, «на самом деле» он занимает после поворота иное положение. Конечно, если как-то пометить стороны квадрата, то удастся определить различие в положениях. Идея же состоит в том, что физические величины — импульс, энергия и т. д. — не зависят от этих невидимых отметок. Вполне достаточно знать, что и что противоположные стороны параллельны.

Состояния, первоначально имевшие различные энергии, становятся вырожденными, когда прямоугольник превращается в квадрат (фиг. 143).

Квадрат обладает симметрией, которой нет у прямоугольника; если повернуть квадрат на 90°, то он, в отличие от прямоугольника, будет выглядеть так же, как и до поворота (фиг, 144). Одна из наиболее

глубоких идей квантовой теории состоит в связи между симметрией системы в пространстве (или, как мы увидим позже, какой-либо иной симметрией) и структурой вырожденных уровней. Системы, обладающие различными видами симметрии, например шестиугольник на фиг. 145, который принимает исходный вид после поворотов на 60, 120, 180, 240, 300 и 360°, и квадрат, изображенный на той же фигуре и принимающий исходный вид после поворотов на 90, 180, 270 и 360°, имеют существенно различные системы вырожденных уровней.

В рассмотренном выше случае частицы, заключенной в прямоугольный сосуд и не испытывающей действия сил, нам удалось найти решения уравнения Шредингера и точно определить строение энергетического спектра системы и степень вырождения уровней.

Фиг. 145.

Фиг. 146. Силовая система, эквипотенциальными поверхностями которой служат наборы квадратов или кубов, обладает симметрией квадрата или куба, а структура вырождения ее уровней энергии совпадает со структурой вырождения, характерной для квадрата или куба, и не зависит от конкретного характера силы.

Фиг. 147.

Число силовых систем, для которых можно провести до конца подобные вычисления, чрезвычайно мало (возможно, не больше полдюжины). Однако (сейчас последует одна из самых мощных теорем квантовой теории) какой бы сложной ни была силовая система, если она обладает симметрией, скажем, квадрата, то можно утверждать, что структура вырождения энергетических уровней системы будет такой же, как у квадрата, независимо от того, знаем ли мы точные значения этих уровней или нет. Таким образом, мы можем, не решая уравнения Шредингера, а зная лишь характер симметрии силовой системы, сразу же определять структуру вырождения ее уровней, или наоборот, изучая на эксперименте структуру вырождения, определить характер симметрии силовой системы (фиг, 146).

Энергетический спектр трехмерного сосуда (например, куба) определяется точно таким же способом (фиг. 147). Трехмерные волны де Бройля характеризуются длинами волн

а энергия системы равна

Фиг. 148. Уровни энергии в зависимости от значений квантовых чисел для частицы, заключенной в трехмерном кубическом сосуде. На фигуре отмечена степень вырождения.

Таблица 1

Таким образом, все комбинации для которых сумма

есть одно и то же число, соответствуют одинаковому значению энергии (фиг. 148 и табл. 1).