§ 11. Соединение проводников в электрические цепи

Электрические цепи содержат, как правило, несколько различных соединенных между собой проводников. Простейшая электрическая цепь имеет один «вход» и один «выход», т. е. два зажима, к которым можно присоединять провода. По этим проводам заряды могут втекать в цепь и вытекать из нее. Если ток в цепи стационарен, т. е. в ней не происходит накопления электрических зарядов, то сила тока на входе и на выходе должна быть одинакова.

Эквивалентное сопротивление цепи. Если взять цепь, состоящую из многих соединенных между собой различных проводников, и выбрать в ней две точки в качестве входа и выхода, то для этих точек мы можем считать всю цепь эквивалентной одному-единственному резистору. В этом случае можно говорить о токе в этой цепи и о напряжении «между зажимами» или «на зажимах», что означает разность электрических потенциалов между входом и выходом. Отношение можно рассматривать как сопротивление эквивалентного всей цепи резистора. Когда для всех отдельных элементов такой цепи справедлив закон Ома, значение эквивалентного сопротивления легко может быть рассчитано.

Последовательное соединение. Начнем с простейших случаев.

Рис. 61. Последовательное соединение резисторов

Когда несколько проводников или резисторов соединены последовательно (рис. 61), сила тока в каждом из них одна и та же, а напряжение на зажимах всей схемы равно сумме напряжений на отдельных резисторах:

Поскольку для каждого резистора в соответствии с законом Ома то (1) можно записать в виде

откуда

т. е. при последовательном соединении проводников или резисторов их сопротивления складываются.

Параллельное соединение. Когда несколько проводников или резисторов соединены параллельно (рис. 62), то напряжения одинаковы на всех резисторах: они равны приложенному напряжению

Рис. 62. Параллельное соединение резисторов

Сила тока на входе и на выходе равна сумме сил токов в отдельных ветвях параллельной цепи:

Подставляя сюда вместо левой части и вместо всех слагаемых правой части, получаем

откуда

т. e. при параллельном соединении проводников или резисторов складываются величины, обратные их сопротивлениям, — проводимости. Сопротивление параллельной цепи всегда меньше сопротивления любого входящего в нее резистора.

Эквивалентные схемы. Схемы многих электрических цепей можно упрощать, шаг за шагом заменяя группы последовательно или параллельно соединенных резисторов их эквивалентами в соответствии с рис. 61 и 62, переходя тем самым к эквивалентной схеме всей исходной цепи. Пример поэтапного перехода к эквивалентной схеме показан на рис. 63. Первоначальная схема, при всей ее запутанности, может быть шаг за шагом сведена к комбинациям последовательного или параллельного соединений.

Однако не любую электрическую схему можно свести к комбинациям последовательных и параллельных соединений. Уже простая

схема «моста» на рис. 64 не может быть исследована подобным способом. При расчете таких разветвленных цепей следует руководствоваться следующими правилами:

Рис. 63. (см. скан) На каждом этапе перехода к эквивалентной схеме используются правила для последовательных и параллельных соединений

1. Для каждого резистора справедлив закон Ома, т. е. напряжение на нем равно произведению силы тока в резисторе на его сопротивление.

2. В любом узле, т. е. точке, где сходятся более двух проводов, алгебраическая сумма токов равна нулю: сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих.

3. Сумма напряжений на отдельных участках цепи при проходе по любому пути от входа к выходу равна полному приложенному напряжению.

Расчет мостовой схемы. Проиллюстрируем применение этих правил для изображенной на рис. 64 схемы, рассмотрев для упрощения алгебраических выкладок частный случай, когда равны между собой значения сопротивлений некоторых резисторов (рис. 65).

Рис. 64. Пример цепи, которая не сводится к комбинации последовательных и параллельных соединений

Рис. 65. К расчету симметричной мостовой схемы

Прежде всего назначим направление токов в каждом звене на пути от входа к выходу. Из симметрии схемы следует, что силы токов в резисторах с одинаковыми значениями сопротивлений равны между собой, и на рис. 65 они обозначены одной буквой. Действительно, если поменять местами вход и выход цепи, то получим схему, неотличимую от исходной.

Выпишем уравнения для сил токов в каждом из узлов в соответствии со вторым из приведенных правил. Из-за симметрии схемы это дает два независимых уравнения:

Далее составим уравнения, соответствующие третьему правилу, для сумм напряжений на отдельных участках при проходе от входа к выходу по разным путям. Вследствие симметрии схемы получаются два независимых уравнения, соответствующих, например, пути, пролегающему через по верхней (или по нижней) ветви, и пути через

Решая систему линейных уравнений (7)-(8), получаем формулу, выражающую ток в цепи через приложенное к ее зажимам напряжение и значения сопротивлений входящих в нее резисторов:

Теперь для сопротивления всей цепи, т. е. сопротивления эквивалентного ей резистора, получаем

Полезно убедиться в том, что формула (10) дает правильные значения полного сопротивления во всех предельных и частных случаях:

Измерения в электрических цепях. Для измерения токов и напряжений в электрических цепях используются амперметры и вольтметры, основным элементом которых служит гальванометр. Важно, чтобы при включении в цепь для измерений эти приборы вносили как можно меньше искажения в измеряемую величину.

Рис. 66. Схематическое устройство амперметра

Амперметр включается в цепь последовательно.

Поэтому его собственное (внутреннее) сопротивление должно быть как можно меньше. Для этого гальванометр снабжают шунтом: вход и выход гальванометра соединяются некоторым сопротивлением, обеспечивающим параллельный катушкам дополнительный путь для тока (рис. 66). Поэтому внутреннее сопротивление амперметра меньше, чем у примененного в нем гальванометра. Амперметр называется идеальным, если внутреннее сопротивление можно считать равным нулю.

Рис. 67. Схематическое устройство вольтметра

Вольтметр подключается к цепи параллельно тому участку, напряжение на котором требуется измерить. Чтобы процесс измерения меньше искажал значение измеряемого напряжения, собственное (внутреннее) сопротивление вольтметра должно быть как можно больше. Поэтому в вольтметре последовательно катушкам гальванометра включено некоторое сопротивление (рис. 67). Внутреннее сопротивление вольтметра, как правило, значительно больше сопротивления входящего в него гальванометра. Вольтметр называется идеальным, если его внутреннее сопротивление можно считать бесконечно большим.

Каждый измерительный прибор рассчитан на определенный интервал значений измеряемой величины, и в соответствии с этим проградуирована его шкала. Для расширения пределов измерений в амперметре можно использовать добавочный шунт, а в вольтметре — добавочное сопротивление.

Шунт для амперметра. Если амперметр рассчитан на максимальную силу тока I, а мы хотим с его помощью измерять силу тока, в раз большую, то очевидно, что через шунт при этом должен протекать ток силой Поскольку шунт включен параллельно амперметру, то

Рис. 68. Шунтирование амперметра

Рис. 69. Добавочное сопротивление к вольтметру

Добавочное сопротивление для вольтметра. Если вольтметр рассчитан на максимальное напряжение а мы хотим с его помощью измерять напряжения, в раз большие, то очевидно, что на концах добавочного сопротивления должно быть напряжение (рис. 69). Поскольку добавочное сопротивление включено последовательно с вольтметром, то

Приведенные значения соответствуют увеличению в раз максимального показания прибора.

Рис. 70. Измерение неизвестного сопротивления с помощью амперметра и вольтметра

То же самое справедливо, разумеется, и для любого другого значения шкалы прибора: измеряемая величина в раз больше показания прибора.

С помощью амперметра и вольтметра можно измерить сопротивление резистора, в котором поддерживается постоянный ток. Для этого можно воспользоваться любой из схем, показанных на рис. 70. В случае использования схемы а неизвестное сопротивление выражается через показания приборов и по формуле

При использовании схемы для неизвестного сопротивления справедливо

Первая схема удобна для измерения сопротивлений, много меньших сопротивления вольтметра вторая — для измерения сопротивлений, много больших сопротивления амперметра . В обоих случаях с большой точностью можно считать равным просто отношению показаний приборов

Рис. 71. Мост Уитстона

Мост Уитстона. Для точного измерения сопротивлений можно использовать метод сравнения сопротивлений, не требующий измерения тока и напряжения. В этом методе используется так называемый мост Уитстона, содержащий четыре сопротивления, одно из которых неизвестно (рис. 71). Переменное сопротивление подбирают таким образом, чтобы ток через гальванометр был равен нулю. При этом через сопротивления идет одинаковый ток а через и — тоже одинаковый ток Разность потенциалов между точками А и В равна нулю. Поэтому одинаковы напряжения на сопротивлениях и

и на сопротивлениях

Разделив почленно равенства (15) и (16), получаем

откуда

Для каждого моста отношение фиксировано и может быть заранее измерено с предельной точностью. В качестве переменного сопротивления подбором которого осуществляют балансировку моста, обычно используют магазины сопротивлений.

Рассмотрим некоторые примеры, связанные с расчетом электрических цепей, содержащих резисторы и измерительные приборы. Сформулируем их в виде задач.

Задачи

1. Погрешность при измерении сопротивления. Найдите относительную погрешность измерения сопротивления по схемам на рис. 70, если для расчета сопротивления по показаниям приборов и вместо использования точных формул (13) и (14) считать приближенно, что

Решение Относительной погрешностью измерения называют отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Абсолютная погрешность (или ошибка измерения) — это разность между полученным при измерении и истинным значениями измеряемой величины. Подчеркнем, что в данном случае речь идет о систематических погрешностях, обусловленных применяемым методом измерения, а не о погрешностях самих приборов.

В случае рис. 70а истинное значение сопротивления дается формулой (13), в которую кроме получаемых при измерениях значений входит внутреннее сопротивление вольтметра Абсолютная погрешность измерений есть

Разделив это выражение на из (13), получим относительную погрешность

Считая, что относительная погрешность невелика (в противном случае такое измерение вообще теряет смысл), т. е. значение близко к отношению переписываем (19) в виде

Знак минус говорит о том, что такой метод измерения всегда дает несколько заниженное значение Модуль относительной погрешности тем меньше, чем больше внутреннее сопротивление вольтметра по сравнению с измеряемым сопротивлением. Относительная погрешность здесь не зависит от сопротивления амперметра.

В случае рис. 706 истинное значение сопротивления дается формулой (14), в которую входит внутреннее сопротивление амперметра Абсолютная погрешность

в данном случае просто равна сопротивлению амперметра Разделив на получим относительную погрешность

Когда относительная погрешность мала, значение измеряемой величины близко к Поэтому

В данном случае относительная погрешность не зависит от внутреннего сопротивления вольтметра и будет тем меньше, чем больше измеряемое сопротивление по сравнению с сопротивлением амперметра. Этот метод всегда дает несколько завышенное значение

Рис. 72. Делитель напряжения

2. Делитель напряжения. В делителе напряжения, образованном резисторами отношение сопротивлений которых вольтметр, подключенный к (рис. 72), показывает напряжение , когда к делителю приложено напряжение Почему вольтметр показывает 20 В, а не 40 В, как можно было бы ожидать?

Сравните силу тока в вольтметре с силой тока в резисторе, напряжение на котором он измеряет.

Решение Вольтметр показывает низкое напряжение, очевидно, потому, что его внутреннее сопротивление недостаточно велико, и в него ответвляется значительный ток. Найти силу этого тока можно следующим образом. Сила тока в резисторе равна, очевидно,

так как напряжение на нем равно разности между приложенным напряжением сети и напряжением показываемым вольтметром. Этот ток разветвляется на ток в первом резисторе и ток через вольтметр Поэтому (25)

Составляя отношение получаем

Ток, ответвляющийся в измерительный прибор, оказался больше тока в резисторе, напряжение на котором измеряется. Ясно, что такой вольтметр и такой делитель напряжения несовместимы!

3. В делителе напряжения из предыдущей задачи (см. рис. 72) сопротивления равны соответственно 4 и 6 кОм, а вольтметр при сетевом напряжении показывает Что покажет этот вольтметр, если заменить сопротивления соответственно на Ом и Ом?

Решение В получившейся после замены резисторов цепи вольтметр включен параллельно сопротивлению Последовательно с ними включено сопротивление Поэтому, обозначив напряжение, показываемое вольтметром, через имеем

где — внутреннее сопротивление вольтметра, Решая уравнение (31) относительно находим

Для расчета показываемого вольтметром напряжения по формуле (27) нужно знать его внутреннее сопротивление Его можно найти с помощью формулы (26), заменив в ней на на е. применив ее к цепи, существовавшей до замены резисторов). Чтобы избежать громоздких алгебраических выкладок, можно вместо этого воспользоваться формулой (25) предыдущей задачи и найти как отношение Проделав соответствующие расчеты, получим

Полученное значение 40 В совпадает с тем, чего следовало ожидать от делителя напряжений. Это означает, что в данном случае внутреннее сопротивление вольтметра достаточно велико и ток в него практически не ответвляется. Сопротивление вольтметра очевидно, много больше Поэтому в знаменателе формулы (27) можно пренебречь слагаемым после чего она принимает вид

Формула (28) соответствует предположению об идеальности вольтметра. Таким образом, в цепи, содержащей килоомные резисторы, данный вольтметр с внутренним сопротивлением 9 кОм нельзя считать идеальным, а в цепи с резисторами в несколько омов — уже можно.

• Объясните каждый этап упрощения схемы на рис. 63. Каким образом получаются приведенные значения эквивалентных сопротивлений?

• Приведите подробное обоснование того, что токи в одинаковых резисторах схемы на рис. 65 одинаковы.

• Составьте уравнение, соответствующее проходу от входа к выходу в схеме на рис. 65 по пути, пролегающему через резисторы и покажите, что оно является следствием уравнений (8).

• Рассмотрите каждый из частных и предельных случаев в схеме на рис. 65 независимо, и покажите, что общая формула (10) дает для них правильные результаты.

• Отклонение стрелки измерительного прибора у вольтметра, как и у амперметра, пропорционально силе тока, проходящего по его катушке. Почему же вольтметр показывает напряжение, а не силу тока? Почему амперметр нельзя использовать как вольтметр?

• Выведите формулы (13) и (14) для расчета неизвестного сопротивления по показаниям амперметра и вольтметра.

• Объясните, почему условия применимости представления об идеальных амперметре и вольтметре зависят не только от характеристик этих измерительных приборов, но и от цепи, в которой они используются.

• Какими факторами определяется точность измерения сопротивлений с помощью моста Уитстона?