§ 5. Расчет электрических полей

Расчеты электрических полей, создаваемых заданным распределением зарядов, основаны на использовании принципа суперпозиции. Эти расчеты существенно упрощаются при наличии какой-либо

симметрии в распределении создающих поле зарядов. Рассмотрим примеры таких расчетов в конкретных задачах.

Задачи

1. Поле заряженного шара. Шар радиуса равномерно заряжен по объему. Полный заряд шара Найти напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого таким шаром.

Решение. Так как распределение создающих поле зарядов сферически-симметрично, то и создаваемое ими электростатическое поле должно обладать такой же симметрией. Это значит, что потенциал и модуль напряженности зависят только от расстояния до центра заряженного шара, а вектор напряженности во всех точках имеет радиальное направление. Однако зависимость от величин будет разной для внешней и внутренней областей.

Симметрия системы позволяет применить теорему Гаусса для расчета напряженности поля Для области этот расчет ничем не отличается от описанного в предыдущем параграфе расчета напряженности поля шара, равномерно заряженного по поверхности. Напряженность поля и, следовательно, потенциал, оказываются точно такими же, как у точечного заряда помещенного в центр шара:

Для нахождения напряженности поля внутри шара рассмотрим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса концентрическую с шаром. Поскольку силовые линии всюду пересекают эту поверхность под прямым углом, то поток вектора Е через нее равен По теореме Гаусса этот же поток пропорционален полному заряду находящемуся внутри сферы: При постоянной плотности заряд пропорционален объему, т. е. Поэтому Приравнивая эти выражения для потока, имеем

откуда

Видно, что напряженность поля внутри равномерно заряженного шара пропорциональна расстоянию от его центра. На поверхности шара, т. е. при значения напряженности поля даваемые формулами (1) и (2), совпадают.

Потенциал для внутренней точки может быть найден как работа сил поля при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность. Фактически требуется вычислить только работу при перемещении до поверхности, так как работа при перемещении от поверхности в бесконечность равна значению потенциала на поверхности шара: При линейной зависимости силы от расстояния в (2) работа при перемещении изданной точки, находящейся на расстоянии от центра шара, до поверхности равна

Таким образом, при потенциал имеет вид

Графики показаны на рис. 16. Оба графика непрерывны, однако при на графике напряженности имеется излом, в то время как на графике потенциала парабола (3) при плавно переходит в гиперболу (1) при Одинаковый наклон касательных к параболе и гиперболе при легко объяснить, если вспомнить о связи напряженности и потенциала: непрерывность наклона касательной к графику следует из непрерывности

2. Неустойчивость равновесия зарядов. Заряды закреплены на расстоянии друг от друга. В какой точке создаваемого ими поля будет находиться в равновесии пробный заряд? Устойчиво ли это равновесие?

Рис. 16. Напряженность и потенциал псшя равномерно заряженного шара

Решение. Очевидно, что пробный заряд может быть в равновесии только тогда, когда он расположен на прямой, проходящей через заряды (рис. 17). Обозначим через х расстояние от заряда до точки равновесия.

Будем для определенности считать, что заряд положительный, а отрицательный. Показанные на рис. 17 силы, действующие на положительный (рис. 17а) и отрицательный пробный заряд со стороны зарядов в точке равновесия равны по модулю. Расстояние х до этой точки можно найти, приравнивая модули напряженностей полей зарядов

Рис. 17. Равновесие положительного (а) и отрицательного (б) пробного заряда в поле зарядов

Учитывая, что приходим к квадратному уравнению для искомого расстояния

откуда

Положению равновесия пробного заряда соответствует корень Второй корень соответствует положению равновесия в случае, когда так как уравнение (4) справедливо и при одноименных зарядах

Для выяснения вопроса об устойчивости равновесия можно рассмотреть силы, действующие на пробный заряд при его небольшом смещении из положения равновесия. Рассмотрим сначала смещение в направлении, перпендикулярном прямой, проходящей через

Рис. 18. По отношению к поперечным смещениям равновесие положительного пробного заряда устойчиво, а отрицательного — неустойчиво

Из рис. 18 видно, что на положительный пробный заряд будет действовать сила (равнодействующая и направленная к положению равновесия. Так получается потому, что силы вблизи точки равновесия почти равны по модулю, но несколько отличаются по направлению. На отрицательный пробный заряд будет действовать сила (равнодействующая направленная от положения равновесия.

Отсюда, однако, нельзя сделать вывод отом, что равновесие положительного пробного заряда будет устойчивым, а отрицательного — неустойчивым. В самом деле, если рассмотреть малые смещения из точки равновесия вдоль прямой, проходящей через все будет наоборот: на положительный заряд будет действовать сила, направленная от точки равновесия а на отрицательный — к положению равновесия (рис. 19б).

Рис. 19. По отношению к продольным смещениям равновесие положительного пробного заряда неустойчиво (а), а отрицательного — устойчиво

Это легко понять, заметив, что при таком смещении относительное изменение расстояния больше, чем до.

Таким образом, в электростатическом поле двух точечных зарядов равновесие пробного заряда не может быть устойчивым: всегда найдутся такие

смещения из положения равновесия, при которых на пробный заряд будет действовать сила, «уводящая» его дальше от этого положения.

Подмеченное на этом примере обстоятельство имеет совершенно общий характер: невозможно устойчивое равновесие заряда под действием только электростатических сил.

Устойчивое равновесие в потенциальном поле соответствует минимуму потенциальной энергии. Невозможность устойчивого равновесия пробного заряда в электростатическом поле означает, что потенциал любого поля, который может быть представлен как сумма членов вида где — радиус-вектор заряда, создающего поле, не имеет минимумов и максимумов на любом конечном расстоянии.

Рис. 20. Нахождение электростатического поля в сферической полости равномерно заряженного шара

Вопрос. Объясните, почему можно утверждать, что не может иметь не только минимума, но и максимума.

3. Однородное поле в полости. Докажите, что электростатическое поле внутри сферической полости в равномерно заряженном по объему шаре однородно. Найдите напряженность этого поля, если расстояние от центра шара до центра полости I, а объемная плотность заряда шара

Решение. Искомую напряженность поля внутри полости проще всего найти с помощью принципа суперпозиции. Идея заключается в следующем. Если бы полости не было, поле Е, в точке А (рис. 20) создавалось бы всем равномерно заряженным шаром. Такое поле нам известно (см. задачу 1). Но эту напряженность можно рассматривать как векторную сумму искомой напряженности Е поля, создаваемого шаром с полостью, и напряженности поля, создаваемого меньшим шаром, после удаления которого и образуется данная полость:

Теперь остается только подставить соответствующие выражения для Е, и

Обозначим через вектор, проведенный в произвольную точку наблюдения А из центра О заряженного шара, а через — вектор, проведенный в точку А из центра полости О. Вектор 1 проведен из О в О. Запишем формулу (2) задачи 1 в векторном виде:

где — радиус шара. Подставляя сюда заряд шара (без полости) перепишем (6) следующим образом:

Очевидно, что точно такой же формулой выражается напряженность поля, создаваемого меньшим шаром, после удаления которого образуется полость:

Выражая теперь Е из (5) как разность Е] — с помощью (7) и (8) находим

поскольку, как видно из рис. 20, для любой точки наблюдения А внутри полости Из (9) следует, что во всех точках внутри полости напряженность поля Е одинакова. Это и значит, что поле в полости однородно. Напряженность Е направлена параллельно линии соединяющей центр с центром полости, от О к О при и от О к О при Модуль напряженности поля в полости зависит только от плотности заряда и расстояния и не зависит от радиусов шара и полости.

Отметим, что в случае, когда центр полости совпадает с центром шара формула (9) дает равное нулю значение: напряженность поля в любой точке внутри равномерно заряженного шарового слоя равна нулю.

4. Электрическое поле диполя. Найти напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого диполем — двумя равными по модулю и разноименными зарядами и находящимися на расстоянии друг от друга, — в точке, отстоящей на расстояние большое по сравнению с размером диполя I.

Рис. 21. Напряженность Е электрического поля диполя представляет собой сумму векторов

Решение. Найти электрическое поле, создаваемое парой точечных зарядов, не составляет большого труда. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность такого поля равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, а потенциал — алгебраической сумме потенциалов. Поэтому, обозначая через расстояния от зарядов и — до точки наблюдения А (рис. 21), имеем для потенциала

а выражения для модулей соответствующих напряженностей имеют вид

направления векторов и результирующего вектора Е показаны на рисунке.

Эти формулы справедливы для любых значений расстояний Смысл задачи заключается в нахождении удобных для дальнейших применений выражений, которые были бы справедливы на больших расстояниях от диполя.

Электрическое действие заряженного тела на расстоянии, большом по сравнению с его размерами, определяется полным зарядом этого тела Чем дальше от тела, тем меньше отличается создаваемое им электрическое поле от поля точечного

заряда: это поле почти сферически-симметрично, его потенциал убывает с расстоянием как а напряженность — как

Если же тело в целом электрически нейтрально, т. е. его полный заряд равен нулю, то это вовсе не означает, что оно совсем не создает электрического поля.

В самом деле, электрически нейтральные молекулы вещества именно благодаря электростатическому взаимодействию между собой объединяются и образуют кристаллы или жидкости.

Рис. 22. Вычисление потенциала диполя в точке А

Для расчета электрического поля простейшей электрически нейтральной системы — диполя удобно несколько преобразовать выражения (10) и (11). Диполь принято характеризовать дипольным моментом модуль которого равен произведению а направление выбирается вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному (рис. 22). Далее удобно вместо ввести расстояние от середины диполя и угол 8 между вектором дипольного момента и направлением на точку наблюдения. Как видно из рис. 22, при разность расстояний можно записать в виде

В то же время произведение в знаменателе формулы (10) можно заменить на В результате формула (10) для потенциала принимает вид

В отличие от потенциала поля точечного заряда, убывающего как потенциал электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее — как Разумеется, поле диполя обладает осевой, а не сферической, симметрией, поэтому его потенциал зависит не только от расстояния но и от направления на точку наблюдения, характеризуемого углом 8.

При получении формулы для напряженности удобно представить результирующий вектор Е на рис. 21 не как сумму векторов а как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих, одна из которых, направлена вдоль радиуса-вектора характеризующего положение точки А относительно середины диполя, а другая, перпендикулярна ей (рис. 23). На больших расстояниях от диполя, когда , векторы направлены почти в противоположные стороны и мало отличаются по

модулю. При приближенном нахождении нужно учитывать разницу векторов по модулю, но можно пренебречь тем, что они направлены не строго в противоположные стороны.

Рис. 23. Напряженность Е поля диполя как сумма векторов

Наоборот, при вычислении можно пренебречь различием векторов по модулю, но нужно обязательно учесть их неколлинеарность.

Записав с помощью формул (11) выражение для в виде

можно при как и при вычислении потенциала, заменить в знаменателе на , а в числителе — сумму на и разность на . В результате из (14) получаем

При вычислении следует учесть, что угол между векторами отличается от на малую величину для которой, как видно из рис. 23, справедливо

Учитывая, что для можно приближенно написать а в выражении для заменить на окончательно получаем

Формулы (15) и (16) позволяют представить себе картину линий напряженности электрического поля диполя (рис. 24). В точках, лежащих на оси диполя, угол равен 0 или , следовательно, напряженность поля направлена вдоль оси. Из формулы (15) видно, что направление совпадает с направлением дипольного момента как при так и при

Рис. 24. Картина линий напряженности диполя на большом расстоянии от него

Рис. 25. Нахождение связи модуля перемещения с изменением угла

Действительно, при значение отрицательно. Это значит, что там вектор Е направлен к диполю (рис. 24). Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, обращается в нуль радиальная составляющая напряженности поля. Напряженность поля в этих точках перпендикулярна плоскости и направлена в сторону, противоположную направлению дипольного момента Картина силовых линий на рис. 24 симметрична относительно оси диполя.

Формулы (15) и (16) для напряженности поля диполя можно получить иначе, используя найденное ранее выражение (13) для потенциала. Для этого воспользуемся тем, что в соответствии с формулой (10) §4 проекция напряженности поля на любое направление связана с изменением потенциала при перемещении вдоль этого направления на расстояние соотношением

Чтобы найти нужно совершить перемещение вдоль радиус-вектора, т. е. положить в равным . В данном случае

это сводится к дифференцированию выражения (13) для по при фиксированном 0. В результате получаем формулу (15).

Совершенно аналогично, для нахождения нужно совершить перемещение перпендикулярно радиусу-вектору в направлении возрастания угла . При этом, как видно из рис. 25, перемещение и вычисление по формуле

с помощью выражения (13) для потенциала приводит к (16).

Формулы (15) и (16) важны потому, что они определяют электрическое поле на большом расстоянии не только для настоящего диполя, т. е. двух точечных разноименных зарядов но и для любой электрически нейтральной системы зарядов, у которой центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Другими словами, на достаточно большом расстоянии любое тело с суммарным зарядом будет похоже не на точечный заряд, а на диполь. Для него можно подобрать диполь с моментом так, чтобы создаваемое диполем поле на большом расстоянии было практически эквивалентно полю такого тела со сложным распределением заряда.

• Поясните на качественном уровне (без формул), почему сила, действующая на пробный заряд внутри равномерно заряженного шара, пропорциональна расстоянию до центра шара. Почему в центре шара эта сила равна нулю?

• Почему на графике напряженности поля равномерно заряженного шара есть излом при а на графике потенциала излома нет?

• Рассмотрите характер равновесия пробного заряда в задаче 2, если заряд отрицательный, — положительный, а также для случая, когда одного знака.

• При решении задачи 3 мы опирались на принцип суперпозиции, применяя его не к совокупности точечных зарядов, а к распределенным по объему зарядам. Приведите обоснование такой возможности.

• Почему для напряженности поля, создаваемого в точке А меньшим шаром, можно использовать ту же формулу (7), заменив в ней на

• В каких случаях тело со сложным распределением заряда можно на большом расстоянии приближенно заменить точечным зарядом, а в каких — диполем?

• По какому закону убывает с расстоянием напряженность поля и потенциал электрического поля диполя? Сравните с полем точечного заряда.

• Как по-вашему, может ли создавать какое-либо электрическое поле тело, у которого равны нулю и полный заряд, и дипольный момент?