§ 34. Интерференция немонохроматического света

В этом параграфе мы рассмотрим изменения в интерференционных явлениях, которые вызываются отказом от монохроматической идеализации и учетом спектрального состава излучения реальных источников света.

Простейшая модель немонохроматического источника. Начнем с простейшего случая точечного источника, излучающего две очень узкие, близкие друг к другу спектральные линии с частотами Если бы излучение на каждой из частот являлось бесконечной синусоидой, то результирующее излучение представляло бы собой волну средней частоты с периодически меняющейся амплитудой. Но в действительности вместо бесконечных синусоид излучаются более или менее длинные цуги волн определенной длины, причем начальные фазы колебаний в последовательно идущих цугах произвольны и никак не связаны друг с другом. Обычно за время наблюдения проходит много таких цугов, и поэтому излучения на частотах можно считать независимыми.

Другими словами, в описанной ситуации можно считать, что вместо одного имеется два расположенных в одном месте точечных источника, независимо друг от друга излучающих волны с частотами При выполнении интерференционных опытов с таким источником света каждая из волн создает свою интерференционную картину, и эти картины просто налагаются друг на друга.

Если частоты и мало отличаются друг от друга, то интерференционные полосы в каждой картине имеют почти одинаковую ширину. В тех местах, где светлые полосы одной картины налагаются на светлые полосы другой, резкость суммарной картины наибольшая. Наоборот, там, где светлые полосы одной картины приходятся на темные полосы другой, резкость интерференционных полос уменьшается вплоть до их полного исчезновения.

Картина от двух близких спектральных линий. Найдем распределение освещенности в интерференционной картине, получаемой от двух вторичных источников, если первичный источник излучает две близкие спектральные линии одинаковой интенсивности. Интерференционная картина для отдельной спектральной линии была рассмотрена в § 30. Зависимость освещенности от разности хода I от вторичных источников до точки наблюдения дается формулой (5) этого параграфа:

Здесь — равномерная освещенность, которую создавал бы только один вторичный источник.

В рассматриваемом случае каждая спектральная линия первичного источника дает интерференционную картину, распределение освещенности в которой описывается формулой (1) с соответствующим значением частоты или Поэтому полное распределение освещенности, получающееся в результате наложения двух интерференционных картин от двух некогерентных источников, имеет следующий вид:

Поскольку спектральные линии имеют одинаковую интенсивность, то и формулу (2) можно преобразовать с помощью формулы для суммы косинусов двух углов:

где — средняя частота, а — разность частот спектральных линий.

Рис. 218, Интерференционная картина и случае, когда источник света излучает две близкие спектральные линии

Если частоты и близки, так что , то резкость интерференционных полос медленно меняется с изменением разности хода I и распределение освещенности в зависимости от I имеет вид, показанный на рис. 218.

Расстояние между соседними полосами определяется множителем и соответствует разности хода равной одной длине волны к: откуда Период изменения резкости полос определяется множителем и соответствует разности хода равной произведению длины волны к на отношение . Действительно, как видно из рис. 218, период изменения резкости полос равен половине периода поэтому откуда

Опыты с квазимонохроматическим светом. Как можно наблюдать на опыте такую интерференционную картину с периодическим изменением резкости полос? Так как для этого необходима разность

хода, равная очень большому числу длин волн, то наиболее удобно использовать интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом, схема которого приведена на рис. 198.

Если плечи интерферометра почти равны друг другу, то наблюдаемые полосы соответствуют разностям хода, равным небольшому числу длин волн. При этом, как видно из рис. 218, полосы имеют наибольшую резкость — почти равную нулю освещенность на месте темных полос. При перемещении зеркала разность хода I возрастает, а резкость интерференционных полос при этом постепенно убывает, так что при порядка полосы пропадают совсем. При дальнейшем перемещении зеркала полосы появляются снова, и при их резкость опять становится максимальной. Затем резкость снова убывает, и т. д.

Из изложенного ясно, что, наблюдая за изменением резкости интерференционных полос в зависимости от разности хода, можно получить информацию о спектральном составе исследуемого света.

Первые наблюдения такого рода были выполнены А. Физо в середине XIX века. В использованном им интерферометре появлялись кольца Ньютона при освещении желтым светом натриевой лампы. Интерференционные полосы в данном случае имеют вид колец, так как разность хода волн, отразившихся от нижней поверхности линзы и верхней поверхности стеклянной пластинки (рис. 219), одинакова вдоль окружностей. Если линзу постепенно отводить от пластинки, то та же самая разность хода будет получаться на окружности меньшего радиуса, поэтому интерференционные кольца будут стягиваться к центру.

Рис. 219. К опыту Физо с кольцами Ньютона

Физо нашел, что при контакте линзы с пластинкой кольца были резкими. При отодвигании линзы от пластинки резкость колец убывала, и при прохождении примерно кольца интерференционная картина исчезала. При дальнейшем увеличении расстояния кольца появлялись вновь и приобретали приблизительно первоначальную резкость при стягивании примерно кольца. Физо проследил периодическое изменение резкости полос в 52 периодах из 980 колец каждый! Отсюда он сделал правильный вывод о том, что натриевый свет состоит из двух спектральных линий почти равной интенсивности. Глядя на рис. 218, легко сообразить, что результаты опытов Физо дают для отношения к у желтого дублета натрия значение, равное 980.

Длина и время когерентности. Рассмотренный пример света, состоящего из двух близких по частоте монохроматических волн, позволяет глубже проанализировать вопрос об использовавшейся в предыдущих параграфах монохроматической идеализации. Спектр испускания достаточно разреженных газов состоит из резких ярких линий, разделенных темными промежутками. Выделим свет одной

из этих почти монохроматических линий и используем его в интерферометре Майкельсона. Мы увидим, что интерференционные полосы будут резкими, если длины путей обоих интерферирующих пучков примерно одинаковы. Если отодвигать одно из зеркал так, чтобы разность хода пучков увеличивалась, то резкость интерференционных полос будет постепенно уменьшаться, и в конце концов они исчезнут.

Такое исчезновение интерференционных полос легко объяснить, если считать, что свет излучается отдельными цугами, содержащими конечное число длин волн. Допустим для простоты, что все волновые цуги одинаковы. Каждый попадая в интерферометр, делится на два цуга равной длины. Если разность хода в плечах интерферометра больше этой длины, один из цугов минует точку наблюдения раньше, чем другой дойдет до нее, и интерференция наблюдаться не будет.

Естественно ввести понятие длины когерентности как наибольшей разности хода интерферирующих лучей, при которой еще возможно наблюдение интерференционной картины. Длина когерентности характеризует степень отклонения рассматриваемого излучения от монохроматической идеализации и равна длине отдельных волновых цугов. Длину цуга волн можно характеризовать промежутком времени, в течение которого он проходит через точку наблюдения. Этот промежуток времени х называется временем когерентности.

• Почему источник, излучающий свет двух узких спектральных линий, можно рассматривать как два независимых монохроматических источника, расположенных в том же месте?

• Опишите качественно вид интерференционных полос в случае источника, излучающего свет двух близких спектральных линий. При какой разности хода полосы исчезают?

• Каким образом Физо установил на опыте, что желтый свет натрия состоит из двух близких спектральных линий?

• Что такое длина и время когерентности квазимонохроматического света? Как связаны эти величины с длиной волновых цугов?

• Как с помощью представления о волновых цугах объясняется исчезновение интерференционных полос при больших разностях хода?

Время когерентности и ширина спектра. Исчезновение интерференционных полос при увеличении разности хода можно объяснить и на другом языке, рассматривая спектральный состав излучения. Строго монохроматической волне (бесконечной синусоиде) соответствует единственная частота, т. е. бесконечно узкая спектральная линия. Будем считать, что излучению, состоящему из волновых цугов конечной протяженности, соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины. Другими словами, такое излучение можно рассматривать как совокупность отдельных монохроматических волн, частоты которых сплошь

заполняют некоторый интервал малый по сравнению со средней частотой . Каждая монохроматическая волна из этой совокупности создает в интерферометре свою интерференционную картину, и полное распределение освещенности определяется наложением этих картин.

При малых разностях хода интерферирующих лучей (порядка нескольких длин волн) положение интерференционных полос в картинах, создаваемых отдельными монохроматическими составляющими, будет практически совпадающим, и полосы суммарной картины будут отчетливыми. По мере увеличения разности хода отдельные интерференционные картины будут смещаться относительно друг друга, и в конце концов суммарная картина окажется полностью размытой.

Оценить разность хода, при которой происходит исчезновение интерференционных полос, можно следующим образом. Мысленно разобьем весь спектральный интервал занимаемый рассматриваемым излучением, на пары монохроматических компонент, отстоящих друг от друга на Распределение освещенности от каждой пары дается формулой (3), в которой следует теперь заменить на Оно показано на рис. 218. Как видно из этого рисунка, полосы пропадают при такой разности хода I, когда аргумент первого косинуса в (3) становится равным Заменяя на получаем

Условие исчезновения полос для всех пар монохроматических компонент одинаково. Поэтому при разности хода даваемой соотношением (4), происходит размытие полной интерференционной картины.

Теперь мы можем сопоставить две возможные интерпретации размывания интерференционных полос при достаточно большой разности хода — в рамках представлений о волновых цугах конечной протяженности и о суперпозиции монохроматических компонент, распределенных в некотором интервале частот. Так как при этом максимальная разность хода I равна длине цуга, то отношение в соотношении (4) есть время когерентности . Переходя для удобства от циклической частоты к частоте переписываем (4) в виде

Соотношение (5) следует рассматривать не как точное равенство, а только как оценку эффективного интервала частот границы которого в известной мере являются условными.

Мы видим, что чем больше длительность волновых цугов тем более узок интервал частот в котором спектральные компоненты этого излучения имеют заметную величину. Иначе

говоря, ширина спектральной линии излучения обратно пропорциональна времени когерентности.

Приведем оценки допустимых значений разности хода при наблюдении интерференции света с использованием разных источников. Для белого солнечного света или света, излучаемого раскаленными телами, интервал длин волн в спектре одного порядка со средней длиной волны. Поэтому наблюдать интерференцию можно только при очень малых разностях хода, равных небольшому числу длин волн.

Если воспользоваться излучением газоразрядной плазмы низкого давления, то при выделении какой-либо одной спектральной линии допустимая разность хода может быть значительно больше. Например, для красной линии кадмия с длиной волны нм, ширина которой составляет всего лишь

0,0013 нм, допустимая разность хода превышает 500 000 длин волн, т. е. 30 см. А ширина линии излучения лазера может быть сделана настолько малой, что удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров!

• Как объясняется исчезновение интерференционных полос при больших разностях хода на основе представлений о конечной ширине частотного спектра квазимонохроматического излучения?

• Как связано время когерентности квазимонохроматического излучения с его спектральным составом?

• Оцените ширину спектральной линии излучения, с помощью которого можно было бы наблюдать интерференцию при разности хода в

Почему в интерферометре Майкельсона можно наблюдать интерференцию света только при одинаковой длине плеч? При какой максимальной разности хода можно наблюдать интерференционные полосы, если источник. света излучает спектральную линию шириной