§ 15. Магнитное поле постоянного тока

Движущийся электрический заряд наряду с электрическим полем создает еще и магнитное поле. Магнитное поле проявляется в действии на магнитную стрелку, на рамку с током, на движущийся заряд. На рамку с током и на магнитную стрелку магнитное поле оказывает ориентирующее действие, на прямой проводник с током и на движущийся заряд в магнитном поле действует сила, перпендикулярная направлению движения зарядов.

Для наглядного изображения магнитных полей используют силовые линии. Эти линии непрерывны. В отличие от потенциального электрического поля, где силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных, магнитное поле является соленоидальным или вихревым: его силовые линии всегда замкнуты. Другими словами, магнитное поле не имеет источников — магнитных зарядов.

Индукция магнитного поля. В отличие от электрического поля силовую характеристику магнитного поля по причинам исторического характера называют не напряженностью, а индукцией. Индукция В магнитного поля — это векторная физическая величина. Обычно ее вводят путем рассмотрения действия магнитного поля на маленькую пробную рамку с током.

Рис. 89. Установившееся положение свободной рамки с током в магнитном поле

Как и в случае пробного заряда в электростатике, такая рамка должна удовлетворять определенным требованиям. Во-первых, рамка должна иметь достаточно малые размеры, чтобы по ее поведению можно было судить о магнитном поле в малой области (в «точке»). Во-вторых, ток в рамке должен быть достаточно мал, чтобы его влиянием на источники измеряемого магнитного поля можно было пренебречь.

По определению направление вектора В совпадает с направлением нормали к свободной пробной рамке с током, установившейся в магнитном поле (рис. 89). За направление нормали к плоскости рамки принимают то направление, в котором будет перемещаться винт с правой нарезкой, если вращать его по направлению тока в рамке.

Если повернуть рамку на некоторый угол а относительно ее установившегося положения, то, как показывает опыт, на рамку будет

действовать момент сил, пропорциональный силе тока в рамке, ее площади и синусу угла поворота:

Этот вращающий момент максимален, когда рамка ориентирована перпендикулярно магнитным линиям, т. е. когда Отношение максимального вращающего момента к произведению силы тока I на площадь поперечного сечения рамки характеризует магнитное поле в том месте, где расположена рамка. Это отношение и принимают по определению за модуль В вектора магнитной индукции в системе единиц

Единица магнитной индукции. За единицу магнитной индукции принята индукция такого поля, в котором на контур площадью при силе тока действует максимальный вращающий момент Такая единица называется тесла

Единица магнитной индукции в абсолютной системе единиц будет приведена ниже.

Магнитные силовые линии. Направление магнитных силовых линий в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции. Как и в случае электрического поля, картину магнитных силовых линий можно сделать «видимой». Для этого используют мелкие железные опилки, которые в магнитном поле намагничиваются и, подобно маленьким магнитным стрелкам, ориентируются вдоль силовых линий. На рис. 90 приведены полученные таким способом картины магнитных полей кругового тока длинной катушки-соленоида прямого постоянного магнита

Для расчета магнитных полей, создаваемых заданными токами, нужно учесть, что индукция магнитного поля, создаваемого текущим по проводу током, определяется совместным действием всех отдельных участков провода. Магнитное поле удовлетворяет принципу суперпозиции: если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником. Точно так же для однородного проводника с током наблюдаемая на опыте индукция В есть векторная сумма элементарных индукций создаваемых отдельными участками провода.

Закон Био-Савара-Лапласа. На опыте невозможно осуществить отдельный участок тока, так что нельзя непосредственно измерить и создаваемое им поле. Измерить можно только суммарную

Рис. 90. Полученные с помощью железных опилок картины различных магнитных полей

индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Существует закон, называемый законом Био—Савара—Лапласа, который, будучи применен к участкам провода произвольной формы, позволяет во всех случаях рассчитать значение результирующей индукции магнитного поля.

Закон Био—Савара—Лапласа формулируется следующим образом. Элемент провода по которому течет ток I, создает в вакууме магнитное поле, индукция А В которого в некоторой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от элемента тока до точки наблюдения. В СИ этот закон имеет вид

где — так называемая магнитная постоянная, угол между направлением на точку наблюдения и направлением элемента тока. Вектор перпендикулярен плоскости, содержащей элемент радиус-вектор (рис. 91).

Направление определяется правилом правого винта: оно совпадает с направлением вращения головки винта при его поступательном

тельном перемещении вдоль тока. Используя понятие векторного произведения, закон Био-Савара—Лапласа можно переписать в векторном виде:

Здесь вектор направлен вдоль провода в направлении движения положительных зарядов. Фигурирующая в формулах (3) и (4) магнитная постоянная вводится при установлении единицы силы тока СИ (ампера) на основе магнитного взаимодействия параллельных проводников с током. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Рис. 91. К закону Био—Савара—Лапласа

Поле кругового тока. Формула (3) (или позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого произвольным распределением постоянных токов. Простейшим примером использования закона Био—Савара—Лапласа служит вычисление магнитного поля в центре кругового тока. Пусть ток I идет по проводу в виде окружности радиуса по часовой стрелке (рис. 92). Векторы от всех элементов кольцевого провода направлены перпендикулярно плоскости круга за плоскость рисунка. Поэтому суммарная индукция магнитного поля В направлена в ту же сторону, а ее модуль равен сумме всех Любой элемент кругового контура находится на одном и том же расстоянии от центра круга, а его направление образует прямой угол с направлением на точку наблюдения. Поэтому, суммируя элементарные индукции, с помощью формулы (3) получаем

Рис. 92. К вычислению магнитного поля кругового тока

Сумма длин всех элементарных участков равна длине окружности поэтому индукция магнитного поля в центре кругового тока равна

Расчет магнитного поля, создаваемого токами других конфигураций, выполняется с помощью интегрирования. Эти расчеты часто упрощаются при учете симметрии картины токов, создающих магнитное поле.

Рис. 93. Линии магнитной индукции прямолинейного проводника с током

Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током, убывает обратно пропорционально расстоянию от провода. Ее значение дается выражением

Линии магнитной индукции в этом случае представляют собой концентрические окружности, плоскости которых перпендикулярны току, а центры расположены на оси тока (рис. 93). Чем ближе к проводнику, тем больше густота магнитных силовых линий.

Теорема о циркуляции. Магнитное поле может быть охарактеризовано некоторым общим соотношением, которое, как и теорема Гаусса в электростатике, может быть использовано для расчета магнитных полей, создаваемых симметричными распределениями токов. Это соотношение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур I и зададим на нем направление обхода. Обозначим через проекцию вектора В на направление элемента контура Составим сумму произведений для всех элементов замкнутого контура. Эта сумма называется циркуляцией вектора В по замкнутому контуру I. Можно показать что, в силу закона Био—Савара—Лапласа циркуляция вектора

В по произвольному замкнутому контуру равна произведению на ток I, пронизывающий контур, по которому берется циркуляция.

Рис. 94. К теореме о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Проверим справедливость этого утверждения для магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с током. Прежде всего отметим, что нужно рассматривать только контуры, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику, так как вектор В в силу (4) не имеет составляющих, параллельных проводнику с током, и, следовательно, циркуляция В по произвольному контуру совпадает с циркуляцией по проекции контура на эту плоскость. Проще всего рассчитать циркуляцию В по круговому контуру с центром на проводнике. В этом случае вектор В в каждой точке контура параллелен элементу (если выбранное направление обхода совпадает с направлением силовых

линий), а модуль В, одинаковый во всех точках контура, дается формулой (6). Суммируя по всем элементам контура, получаем

Видно, что циркуляция В не зависит от радиуса окружности. Нетрудно убедиться в том, что при произвольной деформации окружности циркуляция В не изменится. Рассмотрим элемент произвольного контура I (рис. 94). Для него а; но поэтому

Суммируя по всем элементам контура, получаем

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля справедлива для поля, создаваемого произвольным распределением токов.

Поле в соленоиде. Применим теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля к расчету поля, создаваемого соленоидом, т. е. цилиндрической катушкой с плотно соприкасающимися витками. Магнитное поле такой катушки имеет вид, показанный на рис. 95. Если длина катушки много больше ее диаметра, то линии магнитной индукции внутри катушки параллельны ее оси и поле там однородно всюду, за исключением концов катушки. Снаружи вблизи боковой поверхности катушки поле практически отсутствует.

Вычислим циркуляцию индукции В по прямоугольному контуру, показанному на рис. 96: сторона параллельна, а стороны перпендикулярны линиям индукции внутри катушки.

Рис. 95. Магнитное поле соленоида

Рис. 96. Контур для применения теоремы о циркуляции

Тоща вектор В будет иметь отличную от нуля проекцию на направление контура только на участке и циркуляция В по контуру равна , где — длина участка Подсчитаем теперь полный ток, пронизывающий

выбранный контур. Обозначим число витков на единицу длины соленоида через Сквозь выбранный контур проходит витков, и полный ток равен Согласно теореме о циркуляции

откуда

Формула (9) дает значение индукции магнитного поля внутри длинного соленоида, по обмотке которого пропускается ток I.

Вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным. Легко показать, что индукция поля на оси соленоида на самом его конце равна половине значения индукции внутри соленоида. Если к концу соленоида приставить другой такой же соленоид, по которому в том же направлении протекает такой же ток, то рассматриваемая точка окажется внутри нового, составного соленоида и индукция поля в ней будет определяться формулой (9). Но по принципу суперпозиции эта же индукция есть сумма индукций полей, существующих вблизи концов каждого соленоида. Поскольку соленоиды одинаковы, то одинаковы и создаваемые ими поля, и, следовательно, индукция магнитного поля в точке на оси на конце одного соленоида равна

Рис. 97. Тороидальная катушка

Поле в тороидальной катушке. Вычислим индукцию магнитного поля внутри замкнутой тороидальной катушки (рис. 97). В отличие от соленоида линии магнитной индукции замыкаются здесь внутри самой катушки и представляют собой окружности, параллельные оси тора. Направление их таково, что, глядя вдоль них, мы видим токи в обмотке тороидальной катушки текущими по часовой стрелке. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль одной из таких линий. Из соображений симметрии очевидно, что модуль вектора индукции В одинаков во всех точках, лежащих на одной линии индукции. Пусть радиус такой окружности равен . Тогда по теореме о циркуляции имеем

где — полное число витков, а — ток в обмотке тороидальной катушки. Отсюда

Формула (10) показывает, что индукция магнитного поля в торе максимальна вблизи внутренней стороны и минимальна вблизи внешней стороны тора.

Выражение для индукции магнитного поля в длинном соленоиде (9) может быть получено как предельный случай формулы (10) для поля в тороидальной катушке при условии, что диаметр витков много меньше радиуса самого тора. В этом случае поле внутри тора практически однородно, а отношение представляет собой число витков на единицу длины катушки.

Поле внутри проводника с током. Вернемся к формуле (6) для индукции магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током. Для очень тонкого проводника, когда стремится к нулю, индукция магнитного поля вблизи проводника неограниченно возрастает. Реально провод всегда имеет конечную толщину. С помощью теоремы о циркуляции индукции магнитного поля легко убедиться, что снаружи проводника индукция поля по-прежнему выражается формулой (6), а внутри проводника значение индукции зависит от распределения тока по сечению проводника.

Рис. 98. Магнитное поле прямого тока, текущего по поверхности цилиндрического проводника (а), по всему сечению к расчету магнитного поля внутри проводника (в)

Если весь ток течет только по поверхности цилиндрического проводника, как это бывает в полой тонкостенной трубке или в сверхпроводниках, то магнитного поля внутри нет. Зависимость индукции от расстояния до оси проводника имеет в этом случае вид, показанный на рис. 98а.

Если ток равномерно распределен по сечению проводника, то магнитное поле внутри проводника пропорционально расстоянию от его оси (рис. 986). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим циркуляцию В по круговому контуру радиуса лежащему внутри проводника в плоскости, перпендикулярной его оси (рис. 98а). По соображениям симметрии модуль вектора индукции одинаков для всех точек, лежащих на такой окружности. Так как магнитное поле направлено по касательной к окружности, то по теореме о циркуляции имеем

где — ток, проходящий через заштрихованную на рисунке часть сечения провода, охватываемую этой окружностью. При

равномерном распределении тока по сечению провода

поэтому согласно (11) индукция поля внутри проводника равна

Обратим внимание, что для магнитного поля интегральное соотношение, облегчающее расчет полей при наличии симметрии, содержит циркуляцию вектора индукции по замкнутому контуру, а не поток вектора через поверхность, как это было в случае теоремы Гаусса в электростатике. Это связано с отсутствием в природе магнитных зарядов, на которых могли бы начинаться и заканчиваться магнитные силовые линии. В результате магнитные силовые линии всегда замкнуты, а поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Магнитный поток. Поток вектора индукции В (магнитный поток) через незамкнутую поверхность определяется по тому же правилу, что и поток вектора Е в электростатике. Магнитным потоком Ф через поверхность площадью называется скалярное произведение вектора В на вектор модуль которого равен площади этой поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к поверхности:

где а — угол между вектором В и вектором нормали к поверхности. Поток может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от выбора направления нормали к поверхности.

В случае неоднородного магнитного поля поток через какую-либо поверхность равен алгебраический сумме потоков через участки поверхности, в пределах которых поле можно считать однородным.

Магнитный поток, как и поток напряженности электрического поля, допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Его можно считать равным числу магнитных силовых линий, пересекающих поверхность.

Единицей магнитного потока в СИ является вебер Магнитный поток в создается однородным магнитным полем с индукцией через поверхность площадью расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции.

Магнитный поток играет важную роль в описании явления электромагнитной индукции.

Магнитное поле движущегося заряда. Мы знаем, что каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Но электрический ток — это упорядоченное движение электрических

зарядов. Отсюда можно заключить, что всякий движущийся заряд создает вокруг себя магнитное поле. Индукцию этого магнитного поля нетрудно найти, исходя из закона Био—Савара—Лапласа.

Рассмотрим произведение входящее в формулу (3), и выразим в нем силу тока через концентрацию носителей заряда в проводнике, их заряд и скорость их направленного движения:

При подстановке этих выражений для получаем

Произведение дает полное число носителей заряда в объеме выделенного элемента проводника. Поэтому

Если подставить это выражение в (3) и разделить на число носителей заряда то получится выражение для индукции магнитного поля, создаваемого зарядом движущимся со скоростью

где — расстояние от заряда до точки наблюдения, угол между его скоростью и направлением на эту точку. Вводя радиус-вектор проведенный из заряда в точку наблюдения, можно записать (15) в векторном виде:

В прошлом веке отнюдь не было очевидно, что электрический ток в проводе и движущееся заряженное тело эквивалентны в отношении создания магнитного поля. Впервые появление магнитного поля при механическом движении заряженного тела было установлено Г. Роуландом, что и в наши дни представляет трудную экспериментальную задачу, поскольку требует обнаружения магнитных полей, почти в 105 раз более слабых, чем магнитное поле Земли.

В опытах Роуланда использовались быстро вращающиеся эбонитовые диски, которым предварительно сообщался электрический заряд. О возникновении магнитного поля можно было судить по отклонению маленькой магнитной стрелки. Опыты показали соответствие этой силы формулам (15) и (16).

• Какое направление принимается за направление вектора магнитной индукции? Как можно определить это направление на опыте?

• Сформулируйте закон Био—Савара—Лапласа и разъясните, как его следует применять для расчета магнитных полей.

• В чем заключается принципиальное отличие применения принципа суперпозиции при расчете электростатического поля системы зарядов и магнитного поля токов?

• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции?

• Какова роль соображений симметрии при расчете магнитных полей, создаваемых различными распределениями токов? Приведите соответствующие примеры.

• Сравните теорему Гаусса в электростатике с теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции.

• Что такое магнитный поток? В чем заключается геометрическая интерпретация этой физической величины?

• Как направлено магнитное поле вращающегося заряженного диска в опытах Роуланда? Как должна быть расположена магнитная стрелка, чтобы это поле можно было обнаружить?

О потенциале магнитного поля. Возможность введения потенциала электростатического поля была связана с тем, что работа поля при перемещении заряда не зависела от формы пути, а для любого замкнутого контура была равна нулю. Работа при перемещении единичного заряда по замкнутому контуру равна циркуляции вектора Е. Поскольку циркуляция вектора В может быть отличной от нуля (именно так и будет, если замкнутый контур охватывает какой-либо проводник с током), то для магнитного поля ввести потенциал, который характеризовал бы каждую его точку, невозможно. Такое понятие можно ввести только при условии, если не рассматривать контуры, охватывающие ток: область, занимаемая полем, должна быть односвязной, т. е. в ней любой замкнутый контур можно стянуть в точку, не пересекая проводников с током.

Магнитный момент кругового тока. Вернемся к вопросу о магнитном поле, создаваемом круговым током, и рассчитаем индукцию этого поля не только в центре кольца, но и в любой точке, лежащей на оси симметрии этого кольца (рис. 99а). Выделим элемент тока и рассмотрим индукцию поля, создаваемого этим элементом в точке А, отстоящей на расстояние от плоскости кольца. На основании закона Био—Савара—Лапласа для можно написать

а для модуля учитывая, что векторы взаимно перпендикулярны, имеем

Очевидно, что вектор лежит в плоскости, проходящей через ось симметрии кольца и радиус-вектор точки наблюдения А, проведенный из элемента . В этой плоскости вектор перпендикулярен вектору

Рассмотрим теперь наряду с симметричный ему элемент тока лежащий на противоположном конце диаметра (рис. 99а). Вектор создаваемого им поля в точке А расположен симметрично вектору относительно оси кольца и равен ему по модулю. Поэтому вектор индукции их суммарного магнитного поля направлен по оси кольца.

Поскольку все кольцо с током можно разбить на такие пары элементов, то вектор индукции магнитного поля, создаваемого всем кольцом, тоже направлен вдоль оси кольца.

Рис. 99. К расчету магнитного поля кругового тока (а) и магнитный момент тока (б)

Найдем вклад элемента тока в этот результирующий вектор. Из подобия заштрихованных треугольников на рис. 99а следует, что

Подставляя сюда значение для получаем

Суммирование магнитных полей от всех элементов кольца сводится к замене на полную длину кольца В результате для индукции результирующего поля получаем

Легко видеть, что формула (17) дает тот же результат для индукции магнитного поля в центре кольца: полагая в ней получаем выражение (5).

На больших по сравнению с размерами кольца расстояниях, когда в знаменателе (17) можно пренебречь слагаемым по сравнению с или, другими словами, считать одинаковыми расстояния (рис. 99а). В этом случае (17) принимает вид

Обратим внимание на то, что на больших расстояниях от кольца индукция создаваемого им магнитного поля и направлена, и зависит от расстояния так же, как и напряженность электрического поля на оси электрического диполя. Оказывается, что

эта аналогия справедлива не только для точек на оси, но и во всем пространстве. Например, в точках, лежащих в плоскости кольца на большом расстоянии от него, индукция направлена перпендикулярно этой плоскости, убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния и вдвое меньше значения в точках на оси, расположенных на таком же расстоянии. Поэтому кольцо с током можно рассматривать как магнитный диполь.

Формулы для полей электрического и магнитного диполей будут иметь совершенно аналогичный вид, если ввести магнитный момент кругового тока как вектор, направленный вдоль оси симметрии кольца (рис. 99б), модуль которого равен произведению силы тока I на площадь кольца

Направление вектора связано с направлением тока в кольце правилом правого винта.

Индукция магнитного поля кольца, выражаемая формулой (18), теперь запишется в виде

Введенное определение магнитного момента (19) имеет смысл для любого замкнутого контура с током, а не только для круговой рамки: магнитное поле на больших расстояниях не зависит от формы контура, подобно тому, как электрическое поле любой электронейтральной в целом системы зарядов (например, молекулы) эквивалентно полю диполя.

Магнитный дипольный момент — это важная физическая характеристика контура с током, через которую выражается не только создаваемое им поле, но и действие на него других магнитных полей. Например, формула (2), служащая определением индукции магнитного поля, записывается через магнитный момент следующим образом:

Более того, использование понятия магнитного момента позволяет в векторном виде записать выражение для механического момента сил, действующих на контур (рамку с током) в магнитном поле при произвольной ориентации контура:

Как уже отмечалось, для магнитного поля не существует аналога точечного заряда как источника поля и как пробного объекта, действием на который проявляет себя это поле. Простейший объект такого рода для магнитного поля это не магнитный заряд, а магнитный диполь, свойства которого уже вполне аналогичны свойствам электрического диполя,

• Почему понятие потенциала магнитного поля можно ввести только для односвязной области?

• Почему замкнутый контур с током можно рассматривать как аналог электрического диполя?

• Почему малый элемент линейного тока нельзя считать аналогом точечного электрического заряда, несмотря на то, что индукция создаваемого им магнитного поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния?

• Покажите, что направление и модуль момента сил, действующего на замкнутый контур с током во внешнем магнитном поле, определяется формулой (21).