§ 7. Силы в электростатическом поле

Вопрос о силе, действующей на точечный заряд, помещенный в заданное электрическое поле, решается элементарно: эта сила равна произведению заряда на напряженность поля, Сложнее обстоит дело при нахождении сил, действующих на систему зарядов, например диполь.

Диполь в однородном поле. Если диполь поместить в однородное электрическое поле, то полная действующая на него сила будет равна нулю. Так получается потому, что действующие на входящие в диполь заряды силы равны по модулю и противоположны по направлению. Однако силы приложены в разных точках: это так называемая пара сил.

Рис. 36. Силы, действующие на диполь в однородном электрическом поле

Рис. 37. К расчету момента сил, действующих на диполь

Поэтому в общем случае на диполь действует момент сил, стремящийся ориентировать диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен вдоль вектора напряженности поля Е (рис. 36). Момент пары сил не зависит от выбора точки, относительно которой он рассматривается. Покажем это.

Обозначим через радиусы-векторы входящих в диполь зарядов относительно некоторой точки О (рис. 37). Тогда для суммарного момента сил М можно написать:

где использовано обычное обозначение для векторного произведения. Поскольку а разность представляет собой вектор 1, проведенный от отрицательного заряда диполя к положительному (рис. 37), то

Произведение равно дипольному моменту Поэтому действующий на диполь момент сил пропорционален дипольному моменту и напряженности поля Е:

Модуль момента сил М зависит от угла а между направлениями и Е:

При двух ориентациях диполя — по полю и против момент сил обращается в нуль. Первая ориентация соответствует устойчивому равновесию, вторая — неустойчивому. Характер каждого из этих положений равновесия ясен непосредственно из рис. 36: при малом отклонении ориентации от направления вдоль поля возникает момент сил, стремящийся восстановить эту ориентацию, в то время как при отклонении от противоположной ориентации возникающий момент сил стремится увести из нее диполь еще дальше и «опрокинуть» его.

Энергия диполя во внешнем поле. Характер равновесия диполя в каждом из этих положений можно также установить, рассматривая зависимость потенциальной энергии диполя во внешнем поле от его ориентации. Энергия диполя как совокупности зарядов может быть записана в виде

где — потенциалы тех точек поля, где находятся соответствующие заряды. Разность потенциалов между этими точками, в соответствии с формулой (10) § 4, выражается через размер диполя и его ориентацию следующим образом (см. рис. 36):

Поэтому

Формулу (7) для энергии диполя с моментом во внешнем поле с напряженностью Е можно записать, используя понятие скалярного произведения:

Из формулы (7) видно, что значению соответствует минимум потенциальной энергии, откуда и следует, что ориентация

Диполь в неоднородном поле. В неоднородном внешнем поле на диполь кроме ориентирующего момента сил действует еще и отличная от нуля сила, втягивающая диполь в область с большей напряженностью поля. Эта сила возникает как равнодействующая сил, действующих на входящие в диполь заряды, благодаря тому, что в местах расположения этих зарядов напряженность поля имеет разные значения. Ясно, что эта сила тем больше, чем больше неоднородность поля, т. е. чем больше градиент напряженности.

Попадая в неоднородное электрическое поле, диполь ориентируется в нем должным образом и втягивается в область с большей напряженностью, так как на попадающий туда конец сориентированного диполя действует бблыиая сила, чем на противоположный. Именно таким поведением поляризованных молекул воздуха объясняется возникновение электрического ветра вблизи острия (см. § 5). Такое поведение индуцированных на мелких частицах диполей можно использовать для экспериментальной «визуализации» электростатических полей. Для этого используют ванну с подходящим жидким диэлектриком, к которому подмешен порошок из мелких твердых частичек. Частицы порошка образуют в электрическом поле множество цепочек, простирающихся от одного заряженного электрода до другого, и воспроизводят форму и расположение силовых линий.

На рис. 38 приведена полученная таким способом картина линий напряженности электрического поля двух одинаковых шариков, заряженных разноименно.

Рис. 38. Линии напряженности электрического поля между двумя разноименно заряженными шариками

Картина на рис. 39 дает представление об электрическом поле двух параллельных пластин с одинаковыми зарядами противоположного знака. Поле между пластинами можно считать однородным в случае, когда расстояние между пластинами малб по сравнению с их размерами, так как в средней части линии напряженности имеют вид параллельных прямых,

расположенных с одинаковой густотой. Вблизи краев пластин силовые линии искривляются, т. е. поле становится неоднородным.

Рис. 39. Картина линий напряженности электрического поля двух разноименно заряженных пластин

И, наконец, именно таким поведением диполей объясняется один из самых известных электростатических опытов — притяжение мелких клочков бумаги наэлектризованной расческой.

Диполь в поле точечного заряда. Количественные закономерности поведения диполя в неоднородном электрическом поле рассмотрим на примере взаимодействия диполя с точечным зарядом. Чтобы не рассматривать силы, действующие на каждый из зарядов диполя, и находить их равнодействующую, найдем силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя.

По третьему закону Ньютона она равна по модулю и противоположна по направлению интересующей нас силе, действующей на диполь в неоднородном поле точечного заряда. При этом для напряженности поля диполя мы воспользуемся формулами (15) и (16) § 5.

Приведем результат для двух частных случаев, когда диполь ориентирован вдоль прямой, соединяющей его с точечным зарядом, и перпендикулярно ей. В первом случае угол равен нулю. Поэтому отлична от нуля только радиальная составляющая поля диполя и в соответствии с формулой (15) для действующей на точечный заряд Q силы получаем

Направлена эта сила вдоль линии, соединяющей диполь с точечным зарядом. Диполь притягивается к заряду если он ориентирован вдоль создаваемого зарядом поля, и отталкивается при противоположной ориентации.

Во втором случае, когда диполь ориентирован поперек, угол и отлична от нуля другая составляющая напряженности,

выражаемая формулой (16) §5. Для силы, действующей на точечный заряд при этом получаем

По модулю она вдвое меньше, чем в первом случае, а направлена перпендикулярно прямой, соединяющей диполь с точечным зарядом (рис. 40).

В обоих случаях сила взаимодействия точечного заряда и диполя обратно пропорциональна третьей степени расстояния между ними, т. е. убывает с расстоянием быстрее, чем сила взаимодействия точечных зарядов. Можно убедиться, что она пропорциональна градиенту напряженности поля точечного заряда, убывающей как

Рис. 40. При таком расположении диполя и точечного заряда силы их взаимодействия не направлены вдоль одной прямой

Силы, действующие на проводник. В тех случаях, когда нас интересует сила, действующая на проводник, помещенный в электрическое поле, приходится учитывать изменение этого поля, связанное с возможным перераспределением зарядов на самом проводнике. Рассмотрим сначала силу, действующую не на весь проводник, а на малый участок его поверхности Электрические силы приложены именно к поверхности проводника, так как весь его заряд сосредоточен на поверхности. Распределение этого заряда характеризуется поверхностной плотностью а, которая связана с напряженностью поля Е у поверхности проводника соотношением (1) § 6:

Однако если умножить заряд сосредоточенный на рассматриваемом участке поверхности на напряженность Е, даваемую формулой (11), то мы не получим правильного значения силы, действующей на этот участок. Дело в том, что при нахождении силы нужно умножать заряд на напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами, кроме рассматриваемого, в то время как (11) дает результирующую напряженность электрического поля вблизи данного участка поверхности.

Согласно принципу суперпозиции эту напряженность можно рассматривать как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых выделенным элементом поверхности проводника и всеми остальными зарядами, расположенными как на данном проводнике (за пределами выделенного участка поверхности), так и вне его. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности проводника, то выделенный элемент можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением (16) или (17) § 3 для напряженности поля равномерно заряженной

плоскости:

Это поле существует по обе стороны от плоскости.

Внутри проводника вплоть до самой его поверхности результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри проводника вблизи элемента его поверхности поле зарядов этого элемента, направленное внутрь проводника, полностью компенсируется полем, создаваемым всеми остальными зарядами. Таким образом, в месте расположения выделенного элемента все остальные заряды, находящиеся как на проводнике, так и вне его, создают электрическое поле направленное наружу, причем модуль этой напряженности также определяется выражением (12). Снаружи это поле имеет одинаковое направление с полем, создаваемым зарядами элемента , складываясь с ним, дает полное поле, напряженность которого вдвое больше и определяется выражением (11).

Сила, действующая на элемент поверхности равна произведению заряда этого элемента на напряженность поля

Эта сила направлена наружу по нормали к поверхности проводника независимо от знака заряда этого участка.

Электростатическое давление. Отношение силы (13) к площади поверхности, на которую она действует, представляет собой электростатическое давление В соответствии с (13) имеем

Электрические силы как бы «распирают» проводник. Чтобы определить силу, действующую на все заряженное тело, нужно найти распределение заряда а на его поверхности и просуммировать векторно силы электростатического давления, действующие на отдельные элементы поверхности тела.

• Докажите, что момент любой пары сил, т. е. двух равных по модулю и противоположно направленных сил, не зависит от выбора точки, относительно которой рассматриваются моменты сил.

• Объясните появления знака минус в правой части формулы (6), учитывая, что вектор Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

• Почему при нахождении силы, действующей на диполь во внешнем электрическом поле, приходится учитывать неоднородность этого поля, в то время как при расчете действующего на диполь ориентирующего момента неоднородностью электрического поля можно пренебречь?

• Докажите, что на диполь, который может свободно ориентироваться в электрическом поле, во всех случаях действует именно втягивающая сила.

• Почему электрически нейтральные кусочки бумаги притягиваются наэлектризованной расческой? Проделайте такой опыт и постарайтесь объяснить все, что вам при этом удастся наблюдать.

• Объясните направление сил взаимодействия точечного заряда и диполя, показанных на рис. 40, рассматривая взаимодействие точечного заряда с каждым из зарядов, образующих диполь.

• Будет ли действовать сила на незаряженный проводящий шар, помещенный в поле точечного заряда? Если да, то как направлена эта сила?

• Какая сила действует на плоскую поверхность проводника, на расстоянии от которой находится точечный заряд Как она направлена? Зависит ли ее направление от знака заряда