§ 13. Расчет цепей постоянного тока

Расчет электрических цепей заключается в определении сил токов во всех ветвях и напряжений на всех элементах. Когда цепь содержит один источник тока, ее расчет не представляет принципиальных трудностей, поскольку всю нагрузку, какой бы разветвленной она ни была, можно заменить одним эквивалентным сопротивлением.

Как пример такого рода расчетов рассмотрим следующую задачу.

Задача

В цепи, схема которой показана на рис. 80, подбором переменного сопротивления добиваются, чтобы показания амперметра были одинаковыми независимо от того, в каком положении, А или В, находится ключ К. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока, если этого удалось добиться при значениях переменного сопротивления и сопротивления амперметра, равных соответственно и

Рис. 80. Показания амперметра одинаковы при обоих положениях ключа

Решение Фактически в этой задаче речь идет о двух разных цепях, в которых показания прибора оказались одинаковыми. Прямой путь ее решения заключается в расчете для каждой схемы силы тока в соответствующем ответвлении, содержащем амперметр. При этом в каждом случае придется сначала найти эквивалентное сопротивление нагрузки, определить силу тока в неразветвленной части цепи, а затем найти силу тока через амперметр.

В данном случае, как и во многих других, можно обойтись без расчета эквивалентного сопротивления и найти ответы на поставленные в условии вопросы, используя несколько раз закон Ома для участка цепи и тот факт, что ЭДС равна сумме напряжений на всех участках любого контура, по которому можно обойти рассматриваемую замкнутую цепь.

Рассмотрим сначала схему, соответствующую ключу К в положении А. В этом случае и амперметр соединены последовательно, а параллельно их общему сопротивлению включено Обозначив через I силу тока в амперметре (одинаковую в обоих случаях), а через — в сопротивлении , имеем

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме I и Г. Учитывая это, можно при обходе всей замкнутой цепи по контуру, содержащему амперметр, написать

Аналогично, рассматривая схему, соответствующую ключу К в положении В, придем к равенствам

где — сила тока в сопротивлении при таком положении ключа, и

Приравнивая получившиеся выражения для ЭДС источника, после приведения подобных членов при , получаем

— сопротивление источника вместе с включенным последовательно с ним сопротивлением должно быть равно сопротивлению амперметра чтобы его показания в обоих случаях были одинаковы. Интересно отметить, что это условие не зависит от значений сопротивлений и Однако ясно, что ни ни при этом не должны быть равны нулю: при обе схемы не различаются, а при показания амперметра равны нулю при любых значениях всех остальных параметров.

Рассмотрим цепи, содержащие несколько источников тока. На практике особенно важны случаи, когда одинаковые источники соединяются в батареи.

Последовательное соединение источников тока. При последовательном соединении нескольких источников (рис. 81) правила действий нам фактически уже известны. В соответствии с формулой (4) § 12 сила тока определяется отношением суммы ЭДС всех соединенных источников тока к сумме сопротивлений всех последовательных элементов цепи, включая нагрузку:

Рис. 81. Последовательное соединение источников тока

Когда все источников одинаковы, формула (1) принимает вид

Такая батарея источников тока эквивалентна одному источнику, как ЭДС, так и внутреннее сопротивление которого в раз больше, чем у одного элемента батареи. Последовательное соединение элементов позволяет получить источник с высоким напряжением. Однако при этом возрастает внутреннее сопротивление. Чтобы такое соединение привело к увеличению тока в нагрузке по сравнению с источником из одного элемента, необходимо выполнение условия При этом из (2) следует, что — ток от батареи возрастает примерно в раз.

Параллельное соединение источников тока. Перейдем к параллельному соединению одинаковых элементов в батарею (рис. 82). Ток через нагрузку, т. е. в неразветвленной части цепи, равен сумме токов во всех элементах батареи. Так как все элементы одинаковы, то из симметрии ясно, что и токи в них одинаковы и равны Вся батарея может быть заменена одним эквивалентным источником тока с ЭДС , такой же, как и у одного элемента, и внутренним сопротивлением Поэтому выражение для тока в нагрузке имеет вид

Несмотря на то, что параллельное соединение источников не приводит к увеличению ЭДС, его целесообразно применять в тех случаях, когда требуется получить источник тока с малым внутренним сопротивлением. Такое соединение элементов приведет к увеличению тока в нагрузке почти в раз, если

Отметим, что при оба способа соединения источников дают одинаковый результат для тока в нагрузке, приводя к его увеличению в раз.

Рис. 82. Параллельное соединение источников тока

Рис. 83. Условия работы источников тока при последовательном соединении

Возможно и комбинированное (смешанное) соединение элементов в батарею, при котором включаются параллельно групп, в каждой из которых имеется последовательно соединенных элементов. Такая батарея эквивалентна одному источнику, ЭДС которого в раз больше, чем у одного элемента, а внутреннее сопротивление равно

Параллельное и смешанное соединения разных источников тока используются очень редко. Такие цепи могут быть рассчитаны с помощью правил Кирхгофа, которые пригодны для расчета любых сложных разветвленных цепей.

Всегда ли нужен второй источник? Остановимся на анализе условий работы последовательно соединенных разных источников тока. Для этого рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 83. Выясним, всегда ли наличие второго источника с ЭДС приводит к увеличению тока в цепи, первоначально содержащей только один источник с ЭДС Очевидно, что второй источник имеет смысл

подключать, только если

Умножая обе части этого неравенства на положительную величину и приводя подобные члены, получаем

откуда

Смысл неравенства (5) очевиден: в соответствии с формулой (7) § 12 слева стоит ток короткого замыкания второго источника, а справа — ток в цепи, содержащей только первый источник. Поэтому последовательное подсоединение второго источника целесообразно только в том случае, когда ток его короткого замыкания больше тока в цепи, в которую мы собираемся его включить. Практически в уже собранной цепи обнаружить «бесполезный» источник можно с помощью вольтметра, поочередно подключая его к клеммам каждого из источников.

• Как найти силу тока в любом ответвлении цепи, содержащей только один источник тока?

• В каких случаях целесообразно последовательное соединение одинаковых источников тока в батарею, а в каких — параллельное?

• При каком условии последовательное подключение еще одного источника тока не приведет к увеличению тока в той же нагрузке?

• Объясните, как с помощью вольтметра можно обнаружить «бесполезный» источник в уже собранной последовательной батарее элементов.

Правила Кирхгофа. Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, часть которой изображена на рис. 83. Первое правило Кирхгофа относится к узлам, т. е. точкам, в которых сходится не менее трех проводников. Как уже отмечалось, вследствие закона сохранения заряда в любой точке цепи, в том числе и в любом узле, при прохождении постоянного тока не должно происходить накопления электрического заряда. Поэтому сумма притекающих к узлу токов должна равняться сумме вытекающих. Если условиться считать подходящие к узлу токи положительными, а исходящие из узла — отрицательными, то можно сказать, что алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю:

где обозначает число проводов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа относится к произвольным замкнутым контурам, которые можно мысленно выделить в рассматриваемой разветвленной цепи. Рассмотрим контур на рис. 84.

Рис. 84. Часть разветвленной электрической цепи

Поскольку при расчете мы будем использовать закон Ома для неоднородного участка цепи, то, как мы видели, направление токов в неразветвленных участках можно задать произвольно, например так, как на рис. 84. (Напомним, что если в результате расчета какой-либо из токов окажется отрицательным, то это означает, что в действительности ток на этом участке течет в противоположную сторону.) Запишем закон Ома для каждого из неразветвленных участков контура Обозначив потенциалы узлов через получим

В этих формулах через обозначено полное сопротивление участка, по которому течет ток Легко заметить, что если первое уравнение системы (7) умножить на —1 и затем сложить почленно все три уравнения, то потенциалы узлов выпадают:

Глядя на формулу (8), нетрудно сформулировать правило, с помощью которого можно было бы непосредственно получить это равенство: нужно выбрать определенное направление обхода замкнутого контура (например, по часовой стрелке) и приравнять алгебраическую сумму произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре. При этом ток считается положительным,

если его направление совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным в противоположном случае; ЭДС берется со знаком если она повышает потенциал в цепи в направлении обхода контура, и со знаком если понижает. Это и есть второе правило Кирхгофа, которое можно коротко записать так:

где — число неразветвленных участков в рассматриваемом контуре (совпадающее с числом встречающихся в этом контуре узлов), — число источников ЭДС, действующих в контуре.

Правила расчета сложных цепей. Теперь можно сформулировать общие правила расчета произвольных разветвленных цепей постоянного тока.

1. Обозначить на схеме токи во всех неразветвленных участках, произвольно задавая им направление.

2. Согласно первому правилу Кирхгофа написать уравнения (6) для всех узлов, кроме одного (уравнение для последнего узла писать не нужно, так как оно является следствием предыдущих).

3. Согласно второму правилу Кирхгофа составить уравнения (9) для всех простых контуров, которые можно выделить в данной цепи и которые не получаются наложением уже рассмотренных. Простым считается такой контур, при обходе которого мы побываем в каждой точке только по. одному разу. В правильно выбранной системе контуров каждый участок цепи должен фигурировать по крайней мере в одном из контуров.

4. Если в результате решения получившейся системы уравнений какие-либо токи окажутся отрицательными, то в действительности их направление противоположно выбранному на схеме.

Пример расчета. Для иллюстрации применения правил Кирхгофа рассмотрим условия работы батареи из двух разных параллельно соединенных источников. Параметры схемы указаны на рис. 85.

Рис. 85. К условиям работы источников тока при параллельном соединении

Обозначим токи в неразветвленных участках цепи через и зададим им направления, как указано на рисунке. Пользуясь сформулированными правилами расчета цепей, составляем уравнение для токов в узле:

Выберем два простых контура, например следующим образом: один содержит источник с ЭДС и сопротивление другой содержит оба источника тока. Обходя эти контуры против часовой стрелки, получаем следующие уравнения:

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными токами . Выражаем из уравнения (10) и подставляем в (12):

Умножая (11) на а (13) на и складывая их почленно, находим

Аналогично исключая из уравнений (11) и находим :

Выражение для которое просто находится из уравнения (10), учитывая симметрию схемы, можно написать и непосредственно, заменяя в (14) индексы,

Выражение (15) показывает, что ток I через нагрузку всегда положителен и, следовательно, течет в направлении, указанном на схеме. Из (14) и (16) видно, что при равных и токи через источники тоже положительны. Если же, например, то всегда положителен, в то время как ток может быть и отрицательным. В таком случае он течет в направлении, противоположном указанному на рис. 84. Это означает, что источник 2 не отдает энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от источника

Выясним, при каких условиях источник будет работать нормально, т. е. отдавать энергию во внешнюю цепь. Из (16) видно, что при . Переписав это условие как

видим, что второй источник работает нормально, если его ЭДС больше напряжения на зажимах первого источника в схеме, где только первый источник замкнут на сопротивление

Полученный результат легко понять из следующих простых соображений. Пусть к сопротивлению подключен только первый источник. Если напряжение на его зажимах больше то, подключая параллельно мы фактически ставим второй источник на «зарядку», подобно аккумулятору.

Из формулы (17) видно, что условие нормальной работы второго источника зависит от сопротивления нагрузки при малом он работает нормально, при некотором значении определяемом условием ток через обращается в нуль, т. е. при подключение этого источника ничего не меняет в остальной цепи. При больших значениях подключение источника приводит к уменьшению тока через нагрузку

Два параллельно соединенных источника тока можно заменить одним эквивалентным источником, который обеспечит во внешней цепи такой же ток. Параметры такого источника легко определить с помощью формулы (15). Переписывая ее в виде

и сравнивая с выражением для тока, создаваемого эквивалентным источником ЭДС и внутренним сопротивлением , находим, что значения эквивалентного источника определяются формулами

В частности, для одинаковых параллельно соединенных источников эквивалентный источник, как видно из (18), имеет ту же ЭДС и вдвое меньшее внутреннее сопротивление. Этот результат уже был получен раньше. В случае неравных величина имеет промежуточное значение.

• Разветвленная цепь содержит узлов, и в ней можно выделить простых контуров. Сколько независимых уравнений можно составить, используя первое правило Кирхгофа? второе правило Кирхгофа?

• В чем сходство и различие условий (5) и (17), выполнение которых обеспечивает увеличение тока в нагрузке при подключении еще одного источника тока? Какова физическая причина этих различий?

• Какой смысл имеет отрицательное значение какого-либо из токов, получающееся при решении системы уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа?