§ 32. Спектральные приборы. Дифракционная решетка

Назначение спектральных приборов — исследовать спектральный состав излучения, т. е. определить, из каких монохроматических волн оно состоит. Иначе говоря, спектральный прибор производит гармонический анализ излучения. Действие спектральных приборов основано на том, что в некоторых физических системах условия прохождения света разной длины волны оказываются различными.

Проявление этих различий называют дисперсией, а сами системы — диспергирующими.

Рис. 210. Принципиальная схема спектрального прибора

Разложение излучения в спектр. В экспериментах по изучению спектров обычно используют призму или дифракционную решетку. Принципиальная схема простейшего спектрального прибора показана на рис. 210. Щель на которую падает исследуемое излучение, находится в фокальной плоскости линзы Эта часть прибора называется коллиматором. Выходящий из линзы параллельный пучок света падает на призму Вследствие дисперсии света в веществе призмы свет разных длин

волн выходит из призмы под разными углами. В фокальной плоскости линзы помещается экран или фотопластинка, на которой фиксируется приходящее излучение. Линза фокусирует параллельные пучки лучей, и в результате образуются изображения входной щели в разных местах экрана для разных длин волн.

Идеальным был бы такой спектральный прибор, на выходе которого распределение энергии падающего излучения определялось бы только спектральным составом излучения и не зависело бы от конструкции прибора. Но любой реальный спектральный прибор всегда вносит искажения. Идеальный прибор при падении монохроматического излучения давал бы на выходе единственную бесконечно узкую спектральную линию. Однако в реальном приборе на выходе вместо узкой линии получается некоторое распределение освещенности, характеризуемое контуром определенной формы. Этот контур имеет конечную ширину, что ограничивает способность прибора разделять две близко расположенные спектральные линии.

Дифракция света на решетке. В наиболее совершенных спектральных приборах в качестве диспергирующего элемента используются дифракционные решетки. Лучшие дифракционные решетки представляют собой полированные стеклянные или металлические пластины, на которых алмазным резцом нанесены при помощи специальной делительной машины параллельные одинаковые штрихи, расположенные на строго одинаковых расстояниях друг от друга.

Рис. 211. К объяснению действия дифракционной решетки

Действие дифракционной решетки можно понять, рассматривая падение плоской монохроматической волны на регулярную периодическую структуру, состоящую из чередующихся параллельных друг другу щелей одинаковой ширины расположенных на одинаковом расстоянии а друг от друга (рис. 211). Сумма а является периодом этой структуры и называется постоянной решетки

В каждой точке Р на экране в фокальной плоскости линзы соберутся те лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определенным углом 9 к направлению падающей волны. Поэтому освещенность в точке Р определяется результатом интерференции вторичных волн, распространяющихся как от одной щели, так и от разных щелей. Колебание в точке Р, вызываемое вторичными волнами от одной щели, было рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому мы можем считать это колебание известным и для нахождения результирующего колебания сложить колебания от всех щелей с учетом сдвига по фазе между ними.

Главные максимумы. Легко найти те направления, распространяясь по которым вторичные волны от всех щелей будут приходить в точку Р в фазе и усиливать друг друга. Так будет, если разность хода I между вторичными волнами, идущими из эквивалентных точек соседних щелей, равна целому числу длин волн (см. рис. 211):

В точках на экране, где собираются лучи, распространяющиеся под углами удовлетворяющими условию (1), расположены так называемые главные максимумы дифракционной картины.

А какой вид имеет дифракционная картина между главными максимумами? Чтобы выяснить это, возьмем определенную решетку, имеющую большое число периодов, и рассмотрим, как будет меняться освещенность на экране при постепенном переходе от главного максимума нулевого порядка к главному максимуму первого порядка

Рис. 212. Векторные диаграммы для нахождения результирующего колебания в точке Р

Для нахождения амплитуды результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. При векторы изображающие колебания от разных щелей, параллельны друг другу и при сложении дадут вектор длина которого в раз больше длины вектора и равна амплитуде колебаний в главном максимуме. По мере увеличения угла между колебаниями от соседних щелей появляется одинаковый сдвиг по фазе так что одинаковые по величине соседние векторы повернуты относительно друг друга на угол . В результате получается ломаная линия, вписанная в окружность (рис. 212а).

Если эта ломаная линия окажется замкнутой, то амплитуда результирующего колебания обратится в нуль, что приводит к полной темноте в соответствующих точках экрана. Замыкание ломаной линии из векторов А; происходит при выполнении условия

Значение соответствует разности хода между пучками от первой и последней (т. е. ) щели, равной одной длине волны X. Значение соответствует разности хода, равной . Значение в формуле (2) соответствовало бы разности хода между двумя пучками от соседних щелей, равной длине волны X. Но это, как видно из формулы (1), есть как раз условие главного максимума

первого порядка. Поэтому между главными максимумами нулевого и первого порядков располагаются минимумов. Угловое положение этих минимумов определяется из соотношения (2) при учете, что сдвиг по фазе Ц) между пучками от двух соседних щелей выражается через разность хода I между ними следующим образом (см. рис. 211):

Подставляя (3) в формулу (2), получаем условие для нахождения направлений на минимумы

Положения минимумов между главными максимумами первого и второго порядков даются той же формулой (4), в которой к уже пробегает значения от до Очевидно, что между минимумами располагаются максимумов, которые в отличие от главных называются побочными. Эти максимумы возникают, когда ломаная линия на векторной диаграмме, образованная векторами частично налагаясь сама на себя, оканчивается в верхней точке окружности, так что замыкающий ее вектор результирующего колебания проходит по диаметру окружности.

На рис. 2126 показана векторная диаграмма, соответствующая направлению на первый побочный максимум, расположенный рядом с главным. С помощью рисунка легко видеть, что при большом числе штрихов амплитуда колебаний в этом максимуме связана с амплитудой колебаний в главном максимуме соотношением Пропорциональная квадрату амплитуды освещенность будет в центре первого побочного максимума почти в 25 раз меньше, чем в центре главного. Остальные побочные максимумы будут еще слабее.

Распределение дифрагировавшего света по максимумам разных порядков. Как мы видели, амплитуда колебаний в главном максимуме в раз больше амплитуды колебаний, создаваемых в этой точке вторичной волной от одной щели. Но амплитуда колебаний от одной щели зависит от угла и определяется формулой (5) предыдущего параграфа. Поэтому амплитуды результирующего колебания в главных максимумах разных порядков различны. Картина распределения освещенности на экране показана на рис. 213 для дифракционной решетки, содержащей щели, причем ширина щели в три раза меньше периода Огибающая главных максимумов соответствует распределению освещенности в дифракционной картине от одной щели (см. рис. 209).

Легко видеть, что главный максимум определенного порядка пропадает, если его положение совпадает с каким-нибудь минимумом дифракционной картины от одной щели. Сравнивая условие

определяющее главный максимум решетки, с условием минимума в дифракционной картине от одной щели видим, что условие исчезновения главного максимума га-го порядка можно записать в виде

Здесь к не может принимать значения, равного ибо при этом т. е. решетки уже нет. На рис. поэтому отсутствует главный максимум третьего порядка. Таким образом, распределение энергии падающей на решетку плоской монохроматической волны по главным дифракционным максимумам разных порядков зависит от отношения а в общем случае определяется структурой одного периода решетки.

Рис. 213. Распределение освещенности для дифракционной решетки» содержащей четыре щели

Положение главных дифракционных максимумов, определяемое формулой (1), при данной длине волны X зависит только от периода решетки Оно не зависит ни от полного числа штрихов решетки ни от структуры каждого отдельного периода решетки. При увеличении полного числа штрихов главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся все резче и резче, так как между ними появляется все большее и большее число примерно равноотстоящих побочных максимумов.

Мы видим, что при использовании дйфракционной решетки в качестве диспергирующего элемента спектрального прибора при падении монохроматической волны получается не одна спектральная линия, а набор главных максимумов конечной ширины. Если падающее излучение содержит свет нескольких длин волн то главный максимум нулевого порядка для всех X будет в одном и том же месте при а положение главных максимумов первого, второго и т. д. порядков для разных длин волн будет различным в соответствии с формулой (1). Поэтому различают создаваемые решеткой спектры первого, второго и более высоких порядков.

Разрешающая способность решетки. Одной из важнейших характеристик дифракционной решетки является ее разрешающая способность, которая характеризует возможность разделить в

падающем излучении две близкие длины волны к и к Разрешающей способностью называется отношение к к минимально возможному значению А к, т. е. Считается, что две линии спектра, создаваемого решеткой, различимы, если главный максимум порядка для длины волны подходит к главному максимуму для длины волны к не ближе, чем ближайший минимум для к (рис. 214). Этот условный критерий разрешимости спектральных линий был предложен Дж. Рэлеем. При выполнении критерия Рэлея налагающиеся дифракционные картины образуют максимум с небольшим провалом посредине (рис. 214), что воспринимается глазом по контрасту как наличие темного промежутка между максимумами для длин волн к и к

Положение ближайшего к главному максимуму минимума для длины волны к определяется, в соответствии с формулой (4), соотношением

Для положения главного максимума для длины волны к согласно формуле (1), можно написать

Рис. 214. Критерий Рэлея разрешимости спектральных линий

При выполнении критерия Рэлея левые части (6) и (7) совпадают. Поэтому

откуда

Разрешающая способность дифракционной решетки тем выше, чем больше в ней штрихов и чем выше используемый порядок спектра Наибольший порядок спектра пгаах, который можно получить с данной решеткой, ограничивается условием

Чтобы решетка давала спектр хотя бы первого порядка, необходимо, чтобы период решетки был не меньше длины волны к. Современные решетки имеют до 1200 штрихов на 1 мм и разрешающую способность в спектре первого порядка до 100 000.

Щели конечной ширины в опыте Юнга. Вернемся к опыту Юнга, рассмотренному в § 30. Напомним, что этот опыт был рассмотрен в приближении точечных вторичных источников, которое применимо тогда, когда размер отверстий много меньше длины волны. Как мы видели, вместо точечных отверстий можно использовать бесконечно узкие параллельные щели, и вид интерференционной картины в центре экрана при этом не меняется.

Однако в реальном опыте щели всегда имеют конечную ширину. Теперь после того, как мы познакомились с действием дифракционной решетки, легко выяснить, как изменяется интерференционная картина в опыте Юнга при переходе к щелям конечной ширины.

Рис. 215. Распределение освещенности в опыте Юнга в случае, когда ширина щели в пять раз меньше расстояния между центрами щелей

Для этого достаточно сообразить, что щели в опыте Юнга представляют собой дифракционную решетку, у которой полное число штрихов равно двум. Правда, в опыте Юнга отсутствует линза, но наблюдаемая на удаленном экране интерференционная картина практически не отличается от той, которая наблюдается в фокальной плоскости линзы для решетки с двумя щелями, ибо приходящие в одну и ту же точку удаленного экрана лучи от двух близких щелей почти параллельны. На рис. 215 показано распределение освещенности на удаленном экране в опыте Юнга в случае, когда ширина щели в пять раз меньше расстояния между центрами щелей Штриховая линия соответствует распределению освещенности экрана от одной щели.

Задачи

1. Две дифракционные решетки одного размера имеют разное полное число штрихов Которая из них имеет более высокую разрешающую способность в спектре первого порядка и в спектре максимального порядка?

Ответ: В спектре первого порядка разрешающая способность выше у той решетки, которая имеет большее полное число штрихов. В спектре максимального для данной решетки порядка птзх разрешающая способность зависит не от полного числа штрихов а только от полного размера решетки.

2. Определите направление на главный дифракционный максимум порядка, если монохроматический свет длины волны X падает на решетку с постоянной под углом а.

Ответ: При наклонном падении плоской волны под углом а разность хода соседних пучков и положение главных максимумов разных порядков определяется условием .

• Что имеют в виду, когда говорят о спектральном составе излучения?

• Объясните принцип действия спектрального прибора, схема которого показана на рис. 210. Каково назначение его отдельных элементов?

• Чем отличается спектр излучения, наблюдаемый с помощью реального спектрального прибора, оттого, что должен был бы дать идеальный прибор?

• Как устроена дифракционная решетка? Какая величина называется постоянной решетки?

• Поясните применение векторных диаграмм для определения положения максимумов и минимумов дифракционной картины.

• Покажите с помощью векторной диаграммы, что соседний с главным максимумом побочный максимум имеет в 25 раз меньшую освещенность.

• Каким условием определяется наибольший порядок спектра ?

• Какую максимальную длину волны можно наблюдать в спектре решетки с периодом

Если число щелей дифракционной решетки увеличить вдвое, то интенсивность главных максимумов возрастет в четыре раза. Основываясь на энергетических соображениях, объясните, почему при этом ширина главных максимумов уменьшается в два раза.

• При каком отношении ширины щели к постоянной решетки в дифракционной картине будет отсутствовать главный максимум третьего порядка?

• Объясните, как используется критерий Рэлея при выводе формулы для разрешающей способности дифракционной решетки.