§ 26. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Выше рассматривались электромагнитные колебания в контуре, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие сводилось лишь к сообщению некоторого начального заряда конденсатору, после чего система предоставлялась самой себе. Такое внешнее воздействие отражалось не в дифференциальном уравнении колебаний, а лишь в начальных условиях к нему. В реальных системах эти собственные колебания всегда затухают.

Вынужденными электромагнитными колебаниями, как и в механике, называют колебания в электрических цепях, происходящие при постоянно присутствующем внешнем воздействии.

Уравнение вынужденных колебаний в контуре. Рассмотрим RLC-контур, изображенный на рис. 165. Будем считать, что к нему приложено синусоидальное внешнее напряжение частота которого в общем случае не совпадает с частотой собственных колебаний в этом контуре. В последовательной цепи в каждый момент времени напряжение равно сумме напряжений на отдельных элементах цепи:

Рис. 165. Последовательный RLC-контур

Считая, что при выполнении условий квазистационарности сила тока в один и тот же момент времени во всех участках контура одинакова, можем подставить в

Вводя такие же обозначения, как и при изучении собственных колебаний:

перепишем уравнение (2) в виде

Уравнение (4) для заряда конденсатора имеет точно такой же вид, что и уравнение вынужденных колебаний механического осциллятора с собственной частотой и затуханием у, происходящих под действием синусоидальной внешней силы:

Установившиеся колебания в контуре. Предыдущее утверждение означает, что вынужденные колебания заряда конденсатора происходят точно так же, как и вынужденные колебания механического осциллятора. Как и в механических системах, в колебательном контуре под действием синусоидального приложенного напряжения в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону на частоте приложенного напряжения со, с некоторой постоянной амплитудой и некоторым сдвигом по фазе относительно приложенного напряжения. Такие колебания называются установившимися.

Все характеристики установившихся колебаний заряда конденсатора (т. е. амплитуду и сдвиг по фазе) можно найти, как и в механике, методом векторных диаграмм. Однако в этом нет необходимости. Мы уже рассматривали в § 22 при изучении переменного тока процессы в цепи, показанной на рис. 165, и нашли характер

изменения силы тока под действием приложенного напряжения в режиме установившихся колебаний:

Выражения дают установившееся решение дифференциального уравнения для силы тока. Это уравнение можно получить из уравнения (2) почленным дифференцированием по

Таким образом, рассматривая в § 22 процессы в цепях синусоидального переменного тока, мы фактически изучали установившиеся колебания под действием синусоидального приложенного внешнего напряжения. В частности, там были рассмотрены резонансные явления в таких цепях. Когда внешнее напряжение подается на последовательно соединенные конденсатор и катушку индуктивности (рис. 165), возможен резонанс напряжений, при котором, как мы видели, напряжения на реактивных элементах цепи могут превышать приложенное напряжение. Когда внешнее напряжение подается на параллельно соединенные конденсатор и катушку (см. рис. 141), возможен резонанс токов, при котором токи в отдельных реактивных элементах могут значительно превышать ток в подводящих проводах.

Резонансный контур. Остановимся на резонансных явлениях несколько подробнее. В тех случаях, когда электрическая цепь содержит однотипные реактивные элементы (только конденсаторы или только катушки), в ней может запасаться энергия одного вида — только электрическая или только магнитная. Никаких собственных колебаний в таких случаях быть не может. Вынужденные колебания (переменный ток) в таких цепях, разумеется, возможны, но никаких резонансных явлений быть не может.

Резонансные явления происходят только в цепях, где возможны собственные колебания. Резонанс наступает, когда частота внешнего синусоидального воздействия приближается к собственной частоте

Рассмотрим для определенности резонанс в последовательном контуре (см. рис. 165). В отличие от механического осциллятора, где наибольший интерес представляло смещение из положения равновесия (которое является аналогом заряда конденсатора в электрической цепи больший интерес представляет сила тока которая является аналогом скорости механического осциллятора.

Резонансные кривые. Рассмотрим зависимость амплитуды установившегося тока от частоты приложенного напряжения. Непосредственно из формулы (6) видно, что амплитуда тока обращается в нуль как при так и при и достигает максимального значения при обращении в нуль выражения в скобках в формуле (6), что соответствует точному совпадению частоты приложенного напряжения с собственной частотой:

откуда

Из формулы (7) видно, что при резонансе, когда отсутствует сдвиг фазы между приложенным напряжением и током. Выражаемые формулами (6) и (7) зависимости амплитуды установившегося тока и сдвига фазы от со показаны на рис. 166.

Зависимость амплитуды заряда конденсатора от частоты приложенного напряжения также имеет резонансный характер.

Рис. 166. Амплитуда силы тока и сдвиг фазы при установившихся вынужденных колебаниях в последовательном -контуре

Рис. 167. Зависимость амплитуды заряда при установившихся вынужденных колебаниях от частоты приложенного напряжения

Резонансная кривая для заряда в общих чертах похожа на резонансную кривую для тока, но отличается от нее в некоторых отношениях (рис. 167). Во-первых, максимум амплитуды, даваемый формулой

приходится на частоту

где определяются формулами (3). Резонансная частота сорез оказывается меньше частоты свободных колебаний в контуре. При слабом затухании, когда можно считать, что резонансная частота для заряда практически совпадает с При стремлении частоты приложенного напряжения к нулю, т. е. при амплитуда что при подстановке значений дает как это и должно быть.

Амплитуду вынужденных колебаний заряда в резонансе дрез находим, подставляя частоту сорез из (11) в выражение (10):

Амплитуда колебаний заряда в резонансе тем больше, чем меньше затухание у. Вблизи резонанса затуханием пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе получается конечной. Интересно сравнить значение в резонансе с зарядом при постоянном приложенном напряжении Составляя отношение дрез к получаем

Если подставить в и учесть, что есть время жизни собственных затухающих колебаний в данном контуре, то отношение можно представить в виде

Но есть число собственных колебаний, совершающихся в контуре за время жизни колебаний т. Таким образом, резонансные свойства -контура характеризуются тем же параметром (добротностью контура), что и собственные затухающие колебания в нем.

Энергетические превращения при вынужденных колебаниях. Чем сильнее выражены резонансные свойства контура, тем большую энергию колебаний запасает он при резонансном внешнем воздействии. Естественно, что для достижения установившегося режима в этом случае требуется большее время, чем для установления колебаний при частотах, далеких от резонансной. Если после установления резонансных колебаний прекратить внешнее воздействие, колебания в контуре будут затухать с превращением электромагнитной энергии колебаний в джоулеву теплоту, выделяющуюся на сопротивлении Такой процесс займет столько же времени, сколько требовалось на «раскачку» контура, т. е. на достижение установившегося режима.

• Поясните вывод уравнения (2) для вынужденных колебаний заряда конденсатора колебательного контура.

• Что такое установившиеся вынужденные колебания?

• Получите выражение для амплитуды и сдвига фазы установившихся вынужденных колебаний заряда конденсатора, решая уравнение (4) методом векторных диаграмм. Покажите, что эти выражения согласуются с формулами (6) и (7) для соответствующих величин, характеризующих колебания силы тока в цепи.

• Объясните, почему резонансные явления возможны только в электрических цепях, содержащих оба вида реактивных элементов, т. е. и конденсаторы, и катушки индуктивности.

• С помощью метода векторных диаграмм получите установившееся решение уравнения (4) для вынужденных колебаний заряда конденсатора и покажите, что амплитуда и резонансная частота даются формулами (10) и (11). Постройте график сдвига фазы между приложенным напряжением и зарядом конденсатора.

• Что вы можете сказать о зависимости отношения (формула от частоты собственных колебаний в контуре: это отношение пропорционально или обратно пропорционально ?

• Основываясь на аналогии с механическими колебаниями, покажите, что характерное время установления резонанса в колебательном контуре совпадает со временем жизни затухающих собственных колебаний в этом контуре.

Поглощаемая мощность. При установившихся колебаниях энергия внешнего источника расходуется лишь на их поддержание, т. е. на компенсацию джоулевых потерь в контуре. Поэтому поглощаемая контуром мощность (равная в среднем за период колебаний подводимой к нему мощности), пропорциональна квадрату амплитуды установившегося тока. Действительно, записав на основании закона Джоуля—Ленца выражение для мощности Р тепловых потерь

и подставив в него установившееся значение силы тока из (5) и (6), получим

что после усреднения по времени за период колебаний дает

Подставляя сюда амплитуду из (6), получим зависимость поглощаемой контуром мощности от частоты приложенного

напряжения:

Как видно из (16), поглощаемая мощность максимальна при и равна как если бы все внешнее напряжение было приложено непосредственно к резистору.

Для контура с малым затуханием и, следовательно, с резко выраженными резонансными свойствами поглощаемая мощность заметно отлична от нуля лишь вблизи резонанса, т. е. при частотах со, близких к собственной частоте . В этом случае удобно ввести расстройку т. е. отсчитывать частоту от ее резонансного значения. Тогда разность квадратов в знаменателе формулы (16) можно представить в виде

после чего (16) записывается следующим образом:

где . Форма резонансной кривой для поглощаемой мощности выражаемой формулой (17), часто встречается в физике и называется лоренцевским контуром. График этой зависимости показан на рис. 168. Он симметричен относительно оси ординат, имеет характерную колоколообразную форму. Ширина этой кривой на половине максимальной высоты может служить характеристикой остроты резонанса. Из формулы (17) сразу видно, что мощность уменьшается вдвое, когда второе слагаемое в знаменателе равно единице, т. е. при расстройке Таким образом, ширина резонансной кривой равна

Рис. 168. Лоренцевский контур, описывающий поглощаемую мощность

Но резонансные свойства колебательного контура характеризуются, строго говоря, не абсолютным значением ширины кривой, а безразмерным отношением резонансной частоты к ширине Эта характеристика контура очень широко используется в радиотехнике и называется добротностью

Как видно, например, из формулы (14), эта характеристика колебательной системы уже не раз неявно фигурировала в полученных нами результатах, касающихся как собственных, так и вынужденных колебаний осциллятора.

• На что расходуется поступающая в колебательную систему энергия внешнего источника при установившихся колебаниях и в процессе их раскачки?

• При собственных колебаниях в контуре средние значения электрической энергии конденсатора и магнитной энергии катушки равны между собой. Что можно сказать об этих средних значениях при установившихся вынужденных колебаниях?

• Почему при установившихся вынужденных колебаниях мощность, поступающая в контур от внешнего источника, равна мощности джоулевых потерь лишь в среднем за период, а не в каждый момент времени?

• Что такое лоренцевский контур? Какое отношение имеет он к вынужденным электромагнитным колебаниям?

• Что такое добротность колебательного контура? Приведите все рассмотренные в тексте физические эффекты, при описании которых она фигурировала (явно или неявно)?