§ 27. Незатухающие электромагнитные колебания

До сих пор мы изучали колебательные системы, в которых происходили либо свободные электромагнитные колебания, определяемые начальными условиями, которые в реальных системах всегда затухают, либо вынужденные, происходящие под действием приложенного внешнего синусоидального напряжения. Однако незатухающие колебания возможны не только при периодическом внешнем воздействии, но и в некоторых других случаях — в так называемых автоколебательных и параметрических системах.

Автоколебания отличаются от остальных колебательных процессов тем, что для их поддержания не требуется периодических воздействий извне. Незатухающие колебания поддерживаются благодаря способности автоколебательных систем управлять поступлением энергии от постоянного источника. Форма, амплитуда и частота колебаний задаются самой системой. Примеры автоколебаний — колебания воздуха в органной трубе при поступлении в нее равномерного потока воздуха, колебания силы тока в контуре радиотехнического генератора, колебания маятника или баланса в механических часах.

Параметрические колебания возможны при периодическом изменении какого-либо параметра колебательной системы — длины маятника, жесткости пружины осциллятора, емкости конденсатора колебательного контура и т. п. Характерным примером такого возбуждения колебаний, называемого параметрическим резонансом, может служить раскачивание качелей, когда находящийся на них

человек регулярно приседает и выпрямляется, периодически перемещая тем самым положение центра масс системы.

Автоколебания. Характерные элементы автоколебательной системы, или, как говорят, генератора незатухающих колебаний, — это резонатор, источник энергии и обратная связь между резонатором и источником энергии. Резонатор представляет собой систему, в которой могут происходить собственные затухающие колебания. Примерами резонаторов могут служить маятник настенных часов или баланс наручных, колебательный контур в ламповом генераторе, струна в смычковом музыкальном инструменте.

Обратная связь представляет собой устройство, с помощью которого генератор сам регулирует поступление энергии от источника. Иначе говоря, благодаря обратной связи осуществляется воздействие результатов процесса на само его течение. В автоколебательных системах обратная связь приводит к усилению интенсивности процесса. Такая обратная связь называется положительной. В системе происходит раскачивание собственных колебаний, т. е. самовозбуждение.

Обратная связь в приведенных примерах осуществляется анкерным механизмом в часах катушкой обратной связи в генераторе электромагнитных колебаний, индуктивно связанной с колебательным контуром.

Наличие затухания в резонаторе приводит к диссипации энергии колебаний. Однако обратная связь обеспечивает необходимое восполнение энергии, так что амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока потери меньше, чем вносимая в систему энергия. С увеличением амплитуды колебаний вследствие нелинейных свойств системы это поступление энергии ограничивается и при некоторой амплитуде сравнивается с потерями. Как и при вынужденных колебаниях под действием периодической внешней силы, при автоколебаниях, независимо от начального состояния, в конце концов устанавливается стационарный режим колебаний с определенной частотой и амплитудой. Но в отличие от установившихся вынужденных колебаний, где частота и амплитуда определяются внешним воздействием, в случае автоколебаний как частота, так и амплитуда определяются только свойствами самой системы.

Механическая модель автоколебательной системы. Автоколебания возможны только при наличии положительной обратной связи в нелинейных физических системах. Поэтому анализ уравнений, описывающих даже самые простые реальные автоколебательные системы, представляет собой сложную задачу. Мы рассмотрим упрощенную модель автоколебательной системы, допускающую сравнительно простое исследование — модель обыкновенных часов с маятником или балансом в качестве осциллятора, способного совершать собственные затухающие колебания. Принцип работы часов заключается в том, что при колебаниях

маятника в поле тяжести или крутильных колебаниях баланса на спиральной пружине осциллятор получает короткий толчок от заведенной пружины в направлении своего движения, который немного увеличивает его скорость.

Фазовая траектория. Действие часов легко проиллюстрировать с помощью фазовой диаграммы, на которой по оси абсцисс отложено смещение осциллятора из положения равновесия, а по оси ординат — его скорость (или импульс). При изменении состояния осциллятора изображающая точка на фазовой плоскости описывает некоторую траекторию. В отсутствие обратной связи фазовая траектория представляла бы собой скручивающуюся спираль, соответствующую затухающим колебаниям (рис. 169а). В стационарном режиме установившихся колебаний фазовая траектория замкнута и при двух «подталкиваниях» за период имеет вид, показанный на рис. 1696. Дважды за период, в моменты прохождения через положение равновесия осциллятор сам «отпирает» канал обратной связи, по которому энергия заведенной пружины передается осциллятору.

Рис. 169. Фазовая траектория собственных затухающих колебаний осциллятора (а) и установившихся автоколебаний в идеализированной модели часов (б)

На фазовой диаграмме этому соответствуют практически вертикальные изломы траектории, описывающие мгновенные увеличения скорости на некоторую величину.

При высокодобротном осцилляторе, собственные колебания которого затухают слабо и, следовательно, потери энергии за период невелики, размер этих вертикальных участков мал по сравнению с размером фазовой траектории. Это значит, что автоколебания в такой системе будут почти гармоническими. Частота этих автоколебаний практически совпадает с частотой собственных затухающих колебаний.

Амплитуда установившихся автоколебаний. Амплитуда установившихся колебаний также определяется свойствами самой системы. Значение этой амплитуды можно определить из условия, что

в стационарном режиме уменьшение скорости из-за трения за половину периода должно в точности компенсироваться ее увеличением при получаемом от пружины толчке. Обозначим увеличение угловой скорости осциллятора за один толчок через . Амплитуда скорости, равная произведение частоты колебаний со на амплитуду А отклонения от равновесия, при затухающих колебаниях убывает как Поэтому для определения амплитуды А приравняем уменьшение амплитуды скорости за половину периода увеличению скорости при толчке:

откуда

При слабом затухании, когда формулу (1) для стационарной амплитуды можно упростить, воспользовавшись приближенным соотношением при Учитывая, что получаем

Видно, что амплитуда А установившихся автоколебаний тем больше, чем сильнее толчки (чем сильнее заведена пружина) и чем меньше затухание у собственных колебаний осциллятора.

Устойчивость автоколебаний. Режим установившихся автоколебаний характеризуется устойчивостью. При любых отклонениях амплитуды как под действием случайных, так и преднамеренных причин реакция системы такова, что амплитуда возвращается к своему установившемуся значению. Подтолкнем маятник настенных часов, чтобы размах его колебаний стал больше. Вы увидите, что буквально через несколько колебаний амплитуда станет такой же, как и прежде.

Устойчивость режима установившихся автоколебаний легко понять из энергетических соображений, учитывая, что должен обеспечиваться баланс поступающей от пружины и рассеиваемой энергии за период колебаний. Если амплитуда колебаний вдруг станет больше, то возрастут и потери энергии за период, превысив поступление энергии. И наоборот, уменьшение амплитуды от установившегося значения приводит к превышению поступающей энергии над потерями на трение. Амплитуда начнет увеличиваться.

Предельный цикл. Устойчивость установившихся автоколебаний можно понять, рассматривая процесс выхода системы на предельный цикл, которому соответствует замкнутая фазовая траектория на рис. 1696. Если, например, отклонить осциллятор автоколебательной системы на небольшой угол и отпустить без начального толчка, выход фазовой траектории на предельный цикл будет происходить так, как

показано на рис. 170а. Фазовая траектория постепенно приближается к предельному циклу изнутри.

Рис. 170. Выход фазовой траектории на предельный цикл, соответствующий установившимся автоколебаниям

Напротив, если начальное отклонение превышает значение установившейся амплитуды, фазовая траектория приближается к предельному циклу извне (рис. 170б).

Электромагнитные автоколебания. Действие генератора незатухающих электромагнитных колебаний аналогично рассмотренному механическому примеру автоколебательной системы. Схема такого генератора на транзисторе с колебательным контуром в цепи коллектора показана на рис. 171. Роль заводной пружины, пополняющей энергию колебаний, играет постоянный источник энергии — батарея. Колебательный контур управляет этим источником через цепь обратной связи, содержащую индуктивно связанную с ним катушку включенную в цепь эмиттера.

Транзистор здесь играет роль вентиля, открывающего доступ энергии батареи в колебательный контур. Управление этим вентилем осуществляется подаваемым с катушки напряжением к переходу эмиттер—база. Благодаря этому отпирание транзистора происходит в нужные моменты времени, чтобы импульс тока от батареи пополнял энергию колебаний, компенсируя потери на сопротивлении катушки и проводов.

Рис. 171. Генератор незатухающих электромагнитных колебаний на транзисторе

Параметрический резонанс. Еще один способ возбуждения незатухающих колебаний, как отмечалось в начале этого параграфа, заключается в периодическом изменении какого-либо параметра колебательной системы. Пусть в колебательном контуре конденсатор устроен так, что можно изменять его емкость, например сближая или

раздвигая пластины, и пусть в контуре уже существуют колебания небольшой амплитуды. В тот момент, когда заряд на пластинах конденсатора максимален, раздвинем мгновенно пластины, немного уменьшив тем самым его емкость. При этом придется совершить некоторую работу, которая пойдет на увеличение электростатической энергии.

В момент, когда ток в контуре максимален, а конденсатор полностью разряжен, сблизим пластины до прежнего расстояния. При этом никакой работы не совершается, и электромагнитная энергия контура остается прежней. Еще через четверть периода колебаний, когда заряд снова достигнет максимального значения (в противоположной полярности), опять раздвинем пластины, добавив тем самым еще порцию энергии, и т. д. Таким образом, периодически изменяя емкость конденсатора в нужные моменты времени, можно добиться раскачки электромагнитных колебаний, если добавляемая за период энергия превосходит потери в контуре за то же время. Такой способ возбуждения колебательной системы называется параметрическим возбуждением контура или параметрическим резонансом.

В отличие от вынужденных колебаний под действием периодической вынуждающей силы, когда резонанс происходит при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой, параметрический резонанс возможен при частоте изменения параметра, вдвое превышающей собственную: Параметрическая раскачка колебаний может также происходить, когда параметр изменяется не только дважды за период собственных колебаний, но и когда он изменяется один раз за период, два раза за три периода, один раз за два периода, и т. д.

Порог параметрического резонанса. Параметрический резонанс представляет собой пороговый эффект, так как он наступает только тогда, когда поступление энергии превосходит потери, т. е. амплитуда изменения параметра превышает некоторое пороговое значение. В линейной колебательной системе при превышении порога происходит неограниченное нарастание амплитуды колебаний. Связано это с тем, что при параметрическом резонансе и потери, и поступление энергии пропорциональны квадрату амплитуды.

Этим параметрический резонанс в линейной системе отличается от вынужденных колебаний при силовом воздействии, где поступление энергии пропорционально первой степени амплитуды, а потери — по-прежнему квадрату амплитуды, что приводит, как мы видели, к конечной амплитуде установившихся вынужденных колебаний. При параметрическом резонансе рост амплитуды ограничен только нелинейными свойствами колебательной системы.

Параметрический резонанс и вынужденные колебания. При непосредственном силовом воздействии энергия возбужденных колебаний возникает за счет работы внешней силы, совершаемой при движении системы. При параметрическом воздействии увеличение

запаса энергии колебаний происходит обязательно с превращением энергии одного вида в другой. Так, например, механическая работа, производимая при изменении емкости конденсатора в моменты раздвижения его пластин, приводит к изменению запаса электростатической энергии и, следовательно, общего запаса энергии колебаний в контуре. Заметим, что параметрическое возбуждение колебаний возможно лишь при изменении одного из энергоемких параметров, С или с которыми связана энергия электрического и магнитного поля. Очевидно, что изменение диссипативного параметра не может вызвать раскачки колебаний.

В заключение отметим еще раз основные различия вынужденных колебаний и параметрического резонанса. Резонанс при вынужденных колебаниях возникает при со (или с целым при возбуждении короткими толчками), но сами колебания существуют при любой частоте внешнего воздействия. В случае параметрического воздействия колебания возникают лишь при выполнении соотношения со Резонанс при вынужденных колебаниях вызывает любая, сколь угодно малая внешняя сила. Для возникновения параметрического резонанса амплитуда внешнего воздействия должна превышать некоторое пороговое значение.

• В чем заключается принципиальное отличие автоколебаний и параметрических колебаний от вынужденных колебаний осциллятора? Чем они отличаются друг от друга?

• Приведите известные вам примеры автоколебательных систем. Какие элементы должна обязательно содержать автоколебательная система? Каковы их функции? Что такое обратная связь?

• При каких условиях установившися автоколебания будут почти синусоидальными? От чего зависит их частота и амплитуда?

• Что такое предельный цикл на фазовой диаграмме? Докажите, что при любых начальных условиях в рассмотренной механической модели автоколебательной системы фазовая траектория постепенно приближается к предельному циклу изнутри или извне, нигде его не пересекая.

• Объясните подробно, каким образом в генераторе незатухающих электромагнитных колебаний транзистор через катушку обратной связи обеспечивает поступление импульсов тока от батареи как раз в те моменты времени (и в нужном направлении), когда ток в катушке колебательного контура максимален. Что будет, если переключить (поменять местами) концы одной из этих катушек?

• Постройте примерный график зависимости заряда конденсатора от времени при параметрической раскачке колебаний, вызванной периодическими изменениями емкости.

• Почему для возникновения параметрического резонанса амплитуда изменения параметра должна превышать некоторое пороговое значение?

• Покажите, что при параметрическом резонансе рост амплитуды колебаний ограничивается нелинейными свойствами системы, например, неизохронностью (зависимостью периода собственных колебаний от амплитуды).

Релаксационные колебания. Во всех упоминавшихся выше примерах автоколебательных систем обязательным элементом являлся резонатор. Другими словами, в отсутствие обратной связи в этих системах возможны собственные затухающие колебания. При наличии обратной связи в них устанавливаются самоподдерживающиеся почти синусоидальные колебания. Частота таких колебаний задается резонатором.

Но автоколебания могут происходить и в системах, не содержащих резонатора. Колебания при этом, как правило, не являются гармоническими.

Рис. 172. Типичный пример релаксационных колебаний

Типичными примерами таких систем могут служить генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе и гидравлическое устройство, показанное на рис. 172. В сосуд, снабженный сифоном С, с постоянной скоростью натекает вода из крана К. Пока сифон не заполнен водой, уровень воды в сосуде растет со временем по линейному закону. Но как только уровень достигает высоты сифон срабатывает и уровень воды в сосуде падает до значения после чего сосуд снова начинает заполняться водой из крана. Скорость опорожнения сосуда через сифон можно сделать гораздо больше скорости его наполнения через кран так как скорость воды в сифоне зависит от разности уровней Далее описанный процесс будет повторяться периодически. Зависимости уровня воды А и скорости его изменения от времени показаны в правой части рис. 172. Видно, что колебания уровня воды и скорости не являются синусоидальными. Соответствующая этим колебаниям фазовая диаграмма приведена на рис. 173.

Рис. 173. Фазовая диаграмма релаксационных колебаний, показанных на рис. 172

Аналогичные процессы происходят в генераторе пилообразных колебаний на неоновой лампе. Его электрическая схема показана на рис. 174. Неоновая лампа обладает тем свойством, что ток

через нее не проходит до тех пор, пока приложенное к лампе напряжение не достигнет определенного значения, называемого напряжением зажигания Если после возникновения тлеющего разряда в лампе напряжение на ней несколько уменьшить, то лампа будет продолжать гореть. Ток через лампу прекратится лишь тогда, когда напряжение будет уменьшено до определенного значения, называемого напряжением гашения

Рис. 174. Генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе

При замыкании ключа конденсатор С начинает медленно заряжаться через сопротивление

Как только напряжение на конденсаторе достигнет значения, равного напряжению зажигания лампы в лампе возникает газовый разряд и конденсатор начинает быстро разряжаться через лампу, так как сопротивление горящей неоновой лампы очень мало. Когда напряжение на конденсаторе уменьшится до значения гашения разряд в лампе прекращается и конденсатор опять начинает заряжаться. Затем все повторяется снова. График зависимости напряжения на конденсаторе от времени приведен на рис. 175.

Автоколебания, происходящие в генераторе на неоновой лампе и рассмотренном выше гидравлическом устройстве, носят название релаксационных.

Рис. 175. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

Для таких колебаний характерно постепенное накопление энергии системой до некоторого значения, а затем быстрое «избавление» от накопленной энергии. Аналогом накопительного бачка в гидравлическом устройстве является конденсатор в генераторе пилообразного напряжения; аналогом сифона является неоновая лампа, а роль крана играет сопротивление

Возможные типы автоколебаний не исчерпываются рассмотренными примерами. Форма колебаний не обязательно бывает синусоидальной или пилообразной — она может быть какой угодно. Это относится не только к автоколебаниям, но и ко всем колебаниям вообще, включая и собственные, и вынужденные.

• Приведите известные вам примеры релаксационных колебаний.

• Сравните релаксационные колебания с автоколебаниями в системах, содержащих резонаторы, с точки зрения энергии, поступающей в систему за

период. Покажите, что в релаксационных колебаниях поступающая за период энергия сравнима (одного порядка) с полной энергией колебаний.

• Если период колебаний в системе с резонатором определяется параметрами этого резонатора, то какими факторами определяется период релаксационных колебаний?