2.8. Электромагнитная теория распространения волн в оптических волокнах со ступенчатым профилем показателя преломления

В п. 2.2 мы показали, как световые лучи захватываются и направляются по зигзагообразной траектории вдоль оптического волокна со ступенчатым профилем показателя преломления за счет полного внутреннего отражения на границе раздела сердцевина—оболочка. Такая модель распространения света является, однако, весьма приблизительной, хотя и удовлетворительной с практической точки зрения в тех случаях, когда радиус сердцевины превосходит длину волны распространяющегося излучения. Для волокон с малыми радиусами сердцевины мкм), т. е. в тех случаях, когда К становится сравнима с а, лучевое приближение уже не дает нужной точности и приходится прибегать с электромагнитному анализу, основанному на уравнениях Максвелла. Как было уже показано в п. 2.4, степень применимости лучевой модели для анализа процессов в конкретном волокне оценивается с помощью параметра V [см. уравнение (2.6) ]. Обычно, чтобы описать процесс распространения излучения в волокнах, имеющих V с 10, приходится привлекать аппарат волновой оптики.

Таким образом, для полного описания распространения излучения в оптических волокнах мы используем электромагнитный модовый анализ, подобный описанному в п. 2.3 для планарных волноводов. Однако вследствие цилиндрической геометрии оптических волокон целесообразно получить соотношения, эквивалентные уравнениям (2.24)-(2.26) и (2.27)-(2.29), в цилиндрических координатах, связывающие компоненты для электрического и магнитного полей распространяющейся волны. Вычисления проводятся аналогично, однако теперь мы имеем дело с цилиндрическими координатами. Так, для получения мод волновода обычно рассматривают плоскую волну, описываемую волновым уравнением (2.17). Мы предполагаем, что

компоненты электрического Е и магнитного Н полей выражаются через формулы (2.19) и (2.20):

где При записи этих уравнений предполагалось, что волна распространяется в положительном направлении оси Проделывая то же преобразование, что и в п. 2.3, можно разложить уравнения Максвелла для ротора (2.8) и (2.9) на шесть уравнений для компонентов в цилиндрических координатах, учитывая, что ротор в данном случае записывается как

где — единичные векторы (орты) координатных осей; А — произвольный вектор. Используя эту систему из шести уравнений, после ряда алгебраических преобразований можно выразить поперечные компоненты векторов Е и Н через продольные компоненты в Следующем виде:

где — поперечный компонент волнового вектора к плоской волны в волноводе с показателем преломления

В цилиндрических координатах компоненты поля Е (так же, как и Н) соотносятся с соответствующими декартовыми координатами следующим образом:

Из уравнений (2.101) вытекает, что -компонент поля будет удовлетворять скалярной форме волнового уравнения, а именно уравнения (2.17), но без члена Более того, так как компоненты полей могут быть выражены через [см. уравнения

2.99)], то решение скалярного волнового уравнения для будет достаточным для получения всех компонентов векторов Е и Н электромагнитного поля. В цилиндрических координатах скалярное волновое уравнение выглядит так:

Для того чтобы применить метод разделения переменных (см. п. 2.3) в решении уравнения (2.102), можно записать

Подставив уравнение (2.103) в уравнение (2.102), получим

где I должно быть целым числом для обеспечения периодичности поля по . Таким образом уравнение (2.102) принимает вид

Уравнение (2.105) является известной формой дифференциального уравнения Бесселя второго порядка, имеющего два независимых решения в виде любых двух различных цилиндрических функций. Действительный выбор этих функций определяется ограничениями, положенными геометрией волновода на пространственное распределение полей. Для того чтобы получить моды, соответствующие определенной волноводной геометрии, надо решить уравнение (2.105) для поля и соответствующей постоянной распространения (3.