2.7. Прямоугольные волноводы

Как уже сообщалось выше, планарные волноводы, помимо того, что служат упрощенной теоретической моделью волноводных явлений в более сложных структурах, оказываются практически полезными в интегральной оптике, так как позволяют удерживать энергию света в тонком слое.

Рис. 2 7 Полосковый волновод прямоугольного сечення: а - гипотетический, б — реальный, получаемый методом возмущений из гипотетического

Однако в большинстве интегрально-оптических устройств требуется направлять энергию вдоль одной координаты и удерживать ее в двух перпендикулярных направлениях, что осуществляется с помощью полоскового волновода прямоугольного сечения (рис. 2.7).

Действительно, пленочные структуры, рассматривавшиеся ранее, обеспечивали удержание энергии вдоль оси х, но не накладывали каких-либо ограничений на распространение в плоскости Прямоугольный же волновод — это структура, в которой свет не распространяется как вдоль оси х, так и вдоль оси у. Он состоит из волноводной области с более высоким показателем преломления окруженной оболочкой с показателем Поскольку в прямоугольном волноводе в отличие от планарного показатель преломления может быть функцией двух координат, получить формулы для распределения поля и постоянных распространения оказывается делом очень непростым и требующим обычно обширных численных расчетов [161, 253]. Совсем недавно было получено точное аналитическое решение волноводных свойств гипотетического прямоугольного волновода (рис. 2.7, а).

Используя это решение, можно получить моды реального волновода, применив теорию возмущений первого порядка [238] Распределение показателя преломления гипотетического волновода (рис 2 7, а)

где

Скалярное волновое уравнение (2.18) для этого случая записывают в виде

где Если описывается с помощью выражений (2.82)-(2.84), то уравнение (2.85) решается методом разделения переменных, т. е. что дает раздельные решения для функций

где Чтобы решить уравнение (2.86), введем новую переменную При этом для областей уравнение (2.86) приобретает вид

где

Поскольку функция симметрична относительно является либо симметричной, либо антисимметричной функцией Для симметричной функции решение уравнений (2.88) таково:

Параметр содержащий постоянную распространения определяется характеристическим уравнением

которое получается на основании непрерывности X и ее производных при Для антисимметричной моды характеристическое уравнение имеет вид

Аналогичным образом можно получить решение для поля и характеристические уравнения той части скалярного уравнения, которая зависит от у. В частности, характеристические уравнения соответственно для симметричной и антисимметричной функции даются в форме

где

Опираясь на полученные результаты, легко вывести аналитические выражения для распределения модовых полей различных мод в зависимости от того, являются они симметричными либо антисимметричными вдоль х и у. Приведенная постоянная распределения имеет вид

Теперь для того чтобы получить постоянную распределения для реального волновода, показанного на рис. используем тот факт, что реальное распределение показателя преломления может быть получено из изображенного на рис. 2.7, а гипотетического распределения с помощью возмущения функции показателя преломления в углах гипотетического волновода. Возмущение имеет, очевидно, порядок а поскольку на практике это возмущение является малым.

Следовательно, зная степень возмущения и используя теорию возмущений первого порядка, можно найти приведенную постоянную распространения для волновода, подобного изображенному на рис. 2.7, б,

где согласно [238]

где для симметричных и антисимметричных мод по х и у соответственно.