Применение метода ВКБ для многомодовых градиентных волокон.

Выше мы определили, что время прохождения модой пути по волокну что можно переписать как

где — длина волны излучения в свободном пространстве; — волновое число в свободном пространстве; с — скорость света; — называют групповым показателем,

мы привели одну из многочисленных форм характеристического уравнения для постоянной распространения Р в приближении ВКБ [см. формулу (2.175)] С помощью уравнения (2.176) для выражение (2.175) можно переписать в виде

Введя параметр

где

перепишем уравнение (2.191):

Поскольку с очевидно, что

Теперь из формул (2.189) и (2.191) получим

или

Поэтому

Здесь

где называют параметром профильной дисперсии, которая определяется как

Разлагая правую часть выражения (2 196) в ряд и удерживая члены порядка получаем

Используя формулу (2.189), выводим выражение для групповой задержки

Иногда также используется другая форма выражения (2 199), получаемая путем подстановки выражения для [см формулу (2.192)]

Из формулу вытекает, что для

разница между задержками различных мод исчезает в первом приближении по параметру так как всем модам требуется одинаковое время чтобы достичь выходного торца волокна Из формулы (2 201) можно сделать очевидный вывод, что определяется степенью изменения в зависимости от т. е. от профильной дисперсии, которую мы упоминали выше.

На рис. 2.17 представлена зависимость от длины волны для различных материалов, используемых при легировании сердцевины волокон. Очевидно, чтобы сделать зависимость менее чувствительной к вариациям , надо использовать тройные соединения для изготовления сердцевины. Это решение сулит значительный выигрыш в том случае, когда волокно предназначено для передачи широкополосных сигналов на нескольких длинах волн оптической несущей.

Рис. 2.17. Зависимости от длины волны для различных материалов, используемых при легировании сердцевины [120]

Если пренебречь профильной дисперсией, т. е. принять, что то из уравнения (2.199) получим, удерживая квадратичные члены [46],

Если не слишком близко к 2, то линейный член в уравнении (2.202) доминирует и можно получить разницу времен прохода по волокну «быстрейшей» (соответствующей и «самой медленной» мод

В ступенчатом волокне и

Если пренебречь материальной дисперсией, это выражение сводится к уравнению (2.123), полученному в лучевом приближении. С другой стороны, в параболическом волокне, т. е. для

Отметим, что это выражение аналогично формуле (2.156), но не учитывает материальной дисперсии. Таким образом, при вычислении дисперсионных характеристик волокна лучевой подход и ВКБ-анализ (в нулевом приближении) дают одинаковые результаты

Чтобы оценить максимальную разность задержек между модами в волокнах с произвольным параметром введем нормализованную временную задержку согласно выражению (2.202)

Рис. 2.18. Зависимость от (а) [160} и импульсные отклики (б) для различных профилей показателя преломления (публикуется с разрешения Текникал Джориал»

Преимущество такого представления заключается в том, что из формулы (2.205) исключено время пробега, общее для всех мод, и яснее видна прямая разница между модовыми временами пробега. На рис. 2.18, а представлены зависимости от для различных . В волокнах с все моды распространяются медленнее, чем мода основного порядка Напротив, при моды более высокого порядка достигают выходного торца быстрее мод низкого порядка. Если же мы хотим установить значение параметра при котором низшая и высшая моды имеют одно время пробега, надо положить в уравнении (2.205), что дает

Выражение (2.206) получено в пренебрежении членом т. е. при условии и определяет оптимальный профиль

без учета профилей дисперсии [160]. Из рис. 2.18, а видно, что в волокне с высшая и низшая моды приходят в одно время, а все остальные моды несколько «быстрее», т. е. наиболее «быстрая» мода не соответствует Если обозначить значение соответствующее наиболее «быстрой» моде в волокне с через то из уравнения получим, что

Последнее равенство в выражении (2.207) соблюдается при условии пренебрежения членами порядка Итак, является мерой дисперсии в волокне с и выражается как

следовательно,

что в четыре раза меньше, чем для волокна с , т. е. параболического [см. выражение (2.204а)]. Это значит, что волокно, характеризующееся позволяет передавать в четыре раза больше информации, чем параболическое.

Все изложенные выше соображения относительно дисперсии сводились к подсчету времен пробега для различных мод. Для системного анализа также важно получить такие характеристики, как импульсный отклик и среднеквадратическая ширина импульса. Первая характеристика дает форму выходного импульса, а вторая полезна, когда точная форма импульса не может быть аппроксимирована известными аналитическими функциями. Не вдаваясь в детали, приведем основные положения анализа, выполненного в работах [160, 298].

Положим, что количество энергии, полученное на выходном торце в момент времени пропорционально т. е. числу мод с постоянными распространения большими, чем [см. формулу (2.173а)]. В малый интервал времени это число мод будет соответственно равно Импульсный отклик для многомодового волокна

При выводе этоготвыражения проведено нормирование сигнала на единицу введением коэффициента Из уравнения) (2.200) и из определения получаем, что

а из выражения (2.205) имеем:

Итак,

На рис. 2.18, б показаны формы импульсного отклика для различных профилей волокна. Поскольку меняется от 0 до

Уравнение (2.212) определяет ширину импульсного отклика для градиентного одномодового волокна (в отсутствие профильной дисперсии, т. е.

Рис. 2.18, б ясно показывает, что малое изменение параметра вблизи приводит к очень большим уширениям импульсного отклика. Например, изменение значения от 2 до 1 или до 4 делает импульсный отклик волокна всего в три раза уже, чем для ступенчатого волокна. Среднеквадратическая ширина импульса произвольной формы

где

представляет полную энергию импульса, а

определяет среднее время прихода импульса. Можно показать, опираясь на данные работы [298], что

где

В отличие от выражения (2.201) при минимизации среднеквадратической ширины импульса по межмодовой дисперсии параметр оптимального профиля

Общее уширение импульса может быть представлено как полная среднеквадратическая ширина импульса, вызванная межмодовой и внутримодовой дисперсией (см. работу [309]),

Рис. 2.19. Изменение в зависимости от градиента показателя преломления [2981. 1 — Для светодиода, 2 — для инжекционног о лазера; 3 — Для РОС-лазера, 4 — нескорректировежная длительностъ импульса (материальная дисперсия не учитывается)

Здесь согласно работе [298]

где — среднеквадратическая ширина спектра источника с основной длиной волны

На рис. 2.19 показана зависимость от для трех типоз источников, работающих на длине волны, близкой к мкм, но характеризующихся различной шириной спектра.

Из выражения (2.215) видно, что если предположить отсутствие материальной (дпдк и профильной дисперсий, то, как показано в работе [297],

где и соответствуют среднеквадратическим значениям ширины импульса для ступенчатого и оптимизированного волокон

соответственно. Обычно, если уширение импульса в ступенчатом волокне составляет а в оптимизированном — менее чем

Здесь следует отметить, что в связи с технологическими ограничениями редко удается достичь оптимальной формы профиля. Более того, даже если оптимум достигнут, малое возмущение параметра немедленно ведет к сильной дисперсии [217, 297]. Например, хорошо известно, что на оси волокон, полученных по методу MCVD, обычно имеется провал в профиле показателя преломления, что вызвано испарением легирующих примесей при схлопывании заготовки. Используя теорию возмущений, 1217], можно показать, что для типичного параболического волокна с импульсный отклик увеличивается с (в отсутствие провала) до при провале на кривой рефракционного профиля, имеющего форму гауссовой кривой с полушириной , где а — радиус сердцевины.