2.6. Распределение мощности между направляемыми модами

На основе результатов пп. 2.4, 2 5 на рис. 2.5 построены графики нормированного распределения поля и интенсивности для симметричного планарного волновода. Из рис. 2.5, а видно, что поля разных мод имеют различные распределения в поперечном сечении волновода. Четные моды (с четными значениями имеют в центре пленки максимальное значение, а нечетные — нулевое, при этом число пересечений функции распределения поля с осью х соответствует номеру моды .

Рис. 2 5 Нормированное распределение поля для первых трех мод симметричного волновода (а) при для мкм и распределение интенсивности этих мод (б) (публикуется с разрешения издательства «Прентис-Холл»)

Из рис. 2.5, а также ясно, что поля направляемых мод не обрываются до нуля на границе пленка—оболочка, а проникают в глубь оболочки, меняя свой характер с осциллирующего на экспоненциально спадающий. Проникновение поля в оболочку тем заметнее, чем больше номер моды. Наличие поля в оболочке эффективно используется в таких оптических устройствах, как направленные ответвители, а также в ряде датчиков (см. гл. 3). Если один волновод расположен вблизи другого, происходит взаимодействие полей, проникающих из каждого волновода в общий участок оболочки, что вызывает обмен мощностью между волноводами.

Для того чтобы рассчитать мощность, переносимую направляемыми модами, необходимо вычислить вектор Пойнтинга в пленке и в оболочке, для чего надо, в свою очередь, знать степень проникновения поля из пленки в оболочку Для примера рассчитаем мощность, переносимую ТЕ-модами. Плотность энергии, связанной с электромагнитным полем, по определению дается усредненным во времени соответствующим вектором Пойнтинга (S)

Для того чтобы найти полную мощность, переносимую ТЕ-модами в направлении надо вычислить -компонент из уравнения (2.73)

Поскольку для ТЕ-мод отличны от нуля только составляющие и поскольку из выражения (2.24)

уравнение (2.74) сводится к виду

Полная переносимая Т-модой мощность будет равйа

Для симметричной -моды электрическое поле в пленке характеризует выражение (2.55), а поле в оболочке в той системе координат, которая соответствует выражению (2.77), а именно — с началом координат в центральной плоскости пленки, можно представить следующим образом:

Подставляя формулы (2.55) и (2.78) в формулу (2.77), получаем пную переносимую мощность

Используя, выражение (2.53), можно упростить формулу (2.79)

Из формулы (2.78) ясно, что амплитуда затухающего в оболочке поля спадает в раз на расстоянии границы пленки, поэтому можно считать, что поле моды сосредоточено внутри некоего виртуального слоя с половинной толщиной

Для того чтобы выразить пространственную протяженность распределения оптической мощности в поперечном сечении волновода, обычно используют величину Г, называемую фактором удержания, которая определяется как часть общей мощности, сосредоточенная в пленке:

Выражение (2.81) рассчитано путем интегрирования первого слагаемого в выражении (2.79) и деления результата на выражение (2.80).

Рис. 2.6. Фактор удержания Г как функция толщины волноводной пленки для ТЕ-мод волновода с для мкм (публикуется с разрешения издательства «Прентис-Холл»)

Когда наступает отсечка, постоянная распространения становится равной откуда Следовательно, большая часть оптической мощности сосредоточена в оболочке.

График зависимости от толщины волновода показан на рис. 2.6 для различных мод Для фиксированных Я и Л величины V и пропорциональны, отсюда ясно, что с уменьшением V фактор Г для данной моды также уменьшается, а с ростом V все большая часть мощности, переносимой модой, сосредоточивается внутри пленки.

Все изложенное в пп. 2.4-2.5 касалось -мод. Такой же анализ можно выполнить и для ТМ-мод, аналогично решив уравнение, приведенное в сноске после выражений (2.30) и (2.31). Для пленочного волновода компонент поля для ГМ-моды также будет удовлетворять скалярному волновому уравнению в каждой области (в покрытии, пленке и подложке) независимо.

Однако из-за наличия члена в волновом уравнении для необходимо обеспечить непрерывность функций в поперечном сечении волновода. Это преобразование приводит, вообще говоря, к несколько отличному от выражения (2.45) характеристическому уравнению для Можно показать, что постоянные распределения для ТМ-мод получаются

ются несколько меньше, чем для -мод с тем же индексом. Однако, если волновод слабонаправлйющий (т. е. значения постоянных распространения -моды и соответствующей ТМ-моды практически одинаковы. Детально этот вопрос рассмотрен в работах [80, 181].