Линейно-поляризованные моды в слабонаправляющих волокнах.

Не нарушая общности, можно предположить, что преобладающий поперечный компонент электрического поля в слабонаправляющем волокне радиуса а направлен вдоль оси у, а компонент много меньше, чем Покажем, что допущение не приводит к противоречию до тех пор, пока Из выводов, сделанных в с очевидностью вытекает, что, как и компонент компонент также удовлетворяет скалярному волновому уравнению (2.102). Следовательно, можно утверждать [сравните формулы (2.111) и (2.112)], что в сердцевине и оболочке соответственно будет задаваться а виде:

Здесь предполагается, что непрерывно при хотя, строго говоря, не непрерывна для всех На самом деле также требуется, чтобы были непрерывны на границе раздела сердцевина — оболочка. Однако допущенная ошибка ничтожна до тех пор, пока условие удовлетворяется [76, 159]. Если предположить, что то , следовательно, из уравнений Максвелла можно получить

Опять-таки, поскольку , волны эффективнее распространяются под малыми углами к оси волокна, наконец, поскольку поперечное электрическое поле считается полностью направленным вдоль оси у, можно с уверенностью считать, что мода образована поперечно-поляризованной вдоль оси у плоской волной, распространяющейся вдоль направления оси в почти бесконечно протяженной среде, имеющей показатель преломления Тогда -компонент в уравнении (2.8) для почти плоской волны будет

где индексы 1 и 2 относятся к сердцевине и оболочке соответст венно, импеданс плоской волны в свободном пространстве.

Использовав следующие стандартные соотношения:

получим, что

Из уравнений (2.125)-(2.127) можно получить

Сравнивая уравнения (2.125) и (2.131), можно обнаружить, что в сердцевине

так как для малой разницы между Таким образом, поскольку продольный компонент поля Подобные заключения могут быть сделаны и для поля в оболочке. Наличие порядков может служить подтверждением того, что эти моды были сформированы в результате суперпозиции собственных мод. Из непрерывности тангенциального (к границе раздела) компонента при

а после предположения, что гц, и с использованием ранее выведенных соотношений можно получить, что:

Отсюда получаем следующее характеристическое уравнение для вычисления значений постоянной распространения для различных мод:

которое идентично уравнению (2.124). Непрерывность при приведет к такому же характеристическому уравнению. Таким образом, наше предварительное допущение о том, что в слабонаправляющем волокне моды линейно поляризованы, ведет к такому же характеристическому уравнению, как и то, которое было получено после применения условия к точному характеристическому уравнению (2.113). Этим самым еще раз подтверждается допущение о том, что предположение не ведет к каким-либо противоречиям при .

Если теперь мы проанализируем уравнение (2.135) в пределе для того, чтобы получить частоты отсечки различных мод, то найдем, что для низшей разрешенной моды частота от сечки соответствует первому корню уравнения

в то время как для следующей моды частота отсечки задается первым корнем уравнения

Для нулей функций соответственно имеющих место при значения для равны Литеры обозначают, что моды линейно поляризованы (от англ. linear polarization) Индекс I соответствует порядку функции Бесселя, он определяет условие отсечки для соответствующего номера моды, а также азимутальную периодичность, т. е. число периодов функций или уложившихся на окружности. Из этого определения для обозначения -моды можно также наглядно представить распределение поля для отдельных мод, потому что физически I представляет собой число пучностей в угловом распределении, уложившихся вдоль полукруга, в то время как есть число пучностей в радиальном распределении. Это ясно показано на рис. 2.10,

где поперечные распределения интенсивностей для двух -мод относительно высокого порядка изображены схематично так, как они выглядят на фотографии х.

Здесь следует отметить, что в волноводе большой протяженности чрезвычайно трудно поддерживать распространение отдельной моды относительно высокого порядка. Это происходит потому, что любое малое возмущение в волокне способствует перекачке энергии из данной моды в другие волноводные воды, в связи с чем возникает суперпозиция различных мод и на выходе волокна в результате нет четко определенной и регулярной картины. Только если волокно изготовлено таким образом, что рабочее значение У-параметра лежит в диапазоне, соответствующем фундаментальной моде

2,4048, есть возможность поддерживать распространение отдельной моды по волноводу.

Рис. 2.10. Схематическое представление картин распределения интенсивности для мод

Вид нормированной постоянной распространения в зависимости от V показан на рис. 2.11, а, где

так что для волноводных мод [см. соотношение (2.110)] лежит между 0 и 1. Каждая кривая на графике соответствует одной из мод. Значение для отсечки различных -мод может быть найдено непосредственно по графику; оно соответствует точке пересечения каждой кривой с осью V. Как уже отмечалось выше, при каждая -мода в действительности состоит из линейной комбинации мод, каждая из которых также может быть представлена в азимутальной зависимости или Однако поскольку каждая -мода может быть поляризована либо по оси х, либо по оси у, а каждое из этих направлений поляризации имеет азимутальную зависимость вида либо либо то можно сказать, что каждая -мода четырежды вырождена, т. е. каждому обозначению соответствуют на самом деле четыре дискретных модовых распределения (рис. 2.11, б). Исключение представляет мода которая только дважды вырождена. Таким образом, в системе обозначений мод по типу четыре распределения для каждой -моды соответствуют четырем видам комбинаций и ЕН-мод. Комбинации точных мод, образующих различные -моды, показаны в табл. 2.2.

Теперь заметим, что для получения точных значений для различных мод, нужно решить трансцендентное уравнение (2.135) для и при заданном V. Глоге [159] дал полезные аналитические решения этого уравнения, которое иначе может быть решено только численными методами. Мы только приведем результаты.

За исключением (НЕ) моды, для всех остальных мод

где корень уравнения

Рис. 2.11. Основные свойства первых волноводных мод: а — нормированная постоянная распространения как функция -параметра (публикуется с разрешения автора работы [159]); б — распределение поля четырехкратно вырожденной моды

Для моды имеем

Для мод относительно низкого порядка, вдали от отсечки и уравнения (2.139) и (2.140) могут быть упрощены:

для всех мод, для которых есть корень .

Таблица 2.2. Соответствие между Z-P-модами и точными модами, комбинации которых образуют -моды

Очевидно, что с практической точки зрения теория слабонаправляющих волокон, созданная Снайдером [343] и Глоге [159], вполне подходит для изучения эффектов распространения лучей в оптических волноводах, что подтверждает проведенное выше сопоставление ее положений с точной модовой теорией.