Решение уравнения (2.105) для волокна со ступенчатым профилем.

Первыми среди использованных были оптические волноводы с постоянным показателем преломления сердцевины (диаметром 2а), окруженной покрытием с постоянным показателем преломления (см. рис. 2.2). Таким образом для сердцевины и покрытия уравнение (2.105) может быть переписано соответственно в де

и

где параметры

были выбраны по тем же критериям, что и параметры [см. уравнения (2.35)-(2.37)]. Параметры и и до можно

связать с приведенной частотой или параметром V волновода [см. формулу (2.6)]

Далее будет показано, что для физически реальных решении, а именно для направляемых мод волоконного световода, и и должны быть положительными. Это подразумевает, что значения Р для направляемых мод должны лежать в пределах

Решения уравнения (2.106) есть функции Бесселя первого рода порядка и второго рода тогда как решения уравнения (2.107) есть модифицированные функции Бесселя первого и второго рода где Однако для того чтобы корректно выбрать цилиндрические функции для правильного представления направляемых мод, мы примем во внимание с учетом ассимптотической природы этих функций [78], что ведут себя как стоячие волны с уменьшающейся амплитудой (для больших действительных значений их аргумента). С другой стороны, есть монотонно спадающая функция от есть монотонно возрастающая функция от х. Далее при функция ограничена, в то время как — расходится. В то же время при . Следовательно, для ограниченных решений должны быть отвергнуты и можно записать решеиия уравнений (2.106) и (2.107) для правильного представления волноводных мод волокна со ступенчатым профилем показателя преломления следующим образом:

где использована непрерывность при Поперечные компоненты поля могут быть легко выражены с помощью уравнения (2.99) через Полное поперечное поле

что может быть использовано для образования распределений поля различных мод. Когда определенное волокно содержит большое число мод, полная картина распределения поля будет сложной композицией всех этих мод, в связи с чем образуется своеобразная спекл-структура. Интерференционная спекл-структура наблюдается на выходе многомодового волокна, освещенного когерентным излучением от гелиево-неонового лазера.

Граничные условия, налагаемые геометрией волновода, требуют непрерывности так же как других тангенциальных компонентов при Эти условия непрерывности приведут к системе четырех уравнений для неизвестных постоянных А, В, С, D Для нетривиальных решений соответствующий определитель (образованный из коэффициентов А, В, С, D), должен быть равен нулю, и в результате длительных, хотя и простых, алгебраических преобразований, можно получить следующее трансцендентное уравнение для постоянной распространения [78 1:

где штрихи означают дифференцирование функции по ее аргументу. Это уравнение, хотя математически более сложно, по существу эквивалентно характеристическому уравнению, полученному в п. 2.3 для планарного оптического волновода. Таким образом, по аналогии с уравнением (2.45) решения уравнения (2.113) для Р в пределах области, ограниченной условием (2.110), будут определять распространяющуюся волноводную моду в волокне со ступенчатым профилем показателя преломления Однако в цилиндрическом волоконно-оптическом волноводе, вообще говоря, все шесть компонентов полей конечны, в отличие от планарного волновода, где или или (для чистых ТТИ-мод соответственно). В связи с отличием от нуля компонентов моды в волоконном волноводе называют гибридным и и обозначают как и ЕН-моды. Тем не менее, для специального случая радиально симметричных мод, когда правая часть в уравнении (2.113) исчезает, можно получить

либо

Можно показать, что уравнение (2.114) соответствует -моде а уравнение (2.115) — -моде.