2.5. Лучевой вывод характеристического уравнения

В п. 2.3 было показано, что продольный компонент волнового вектора плоской волны который соответствует некоторой моде, равен

а следовательно, его поперечная составляющая равна

Один полный период зигзагообразного пути луча после отражения вызывает согласно формуле (2.67) фазовое приращение поскольку лучу дважды приходится преодолевать толщину пленки Однако для того чтобы подсчитать полный фазовый сдвиг на этом пути, надо к этой фазе прибавить фазовые сдвиги при полном внутреннем отражении на границах раздела пленка—покрытие и пленка—подложка. Для подсчета фазовых сдвигов, связанных с отражением, мы используем описание плоской волны в виде для падающей на границу волны и для отраженной волны. Затухающая волна в этой же области записывается как (см. рис. 2.3, б). Накладывая условие непрерывности на нижней границе, получаем

и

Исключая в этих двух уравнениях получаем

или

Таким образом, фазовый сдвиг при отражении на границе раздела пленка—подложка равен Аналогично получим, что на верхней границе (пленка—покрытие) фазовый сдвиг равен Для того чтобы происходила конструктивная интерференция двух встречных волн, образующих картину стоячей волны в поперечном сечении волновода, полный фазовый сдвиг, приобретаемый поперечным компонентом волнового вектора в течение одного цикла должен быть кратен радиан, что дает нам

или

Мы получили вновь характеристическое уравнение (2.45), определяющее постоянную распространения моды волновода. Очевидно, что приняв условие кратности фазового сдвига величине вызванное требованием конструктивной интерференции в поперечном сечении волновода, мы приходим через выражение (2.72) к выводу о необходимости распространения лучей под дискретными углами.