2.4. Характеристическое уравнение и условие отсечки

В п. 2.3 мы показали, что, решая характеристические уравнения (2.44) или (2.45), можно получить значения для ассиметричного пленочного волновода. В симметричном волноводе уравнение (2.44) преобразуется к виду

Индекс с теперь относится к среде, окружающей волновод с обеих сторон (оболочке). Уравнение (2.52) можно привести к двум трансцендентным уравнениям:

Выбирая первое решение, мы с помощью уравнения (2.48) получаем выражение для поля в пленке

представляющее собой симметричную функцию координаты х относительно середины пленки

Если воспользоваться выражением (2.54) для определения Р, то выражение для поля внутри пленки приобретет вид

т. е. поле есть антисимметричная функция относительно плоскости

Таким образом, уравнение (2.55) определяет четные, а уравнение (2.56) — нечетные собственные функции симметричного пленочного волновода.

Для получения численных значений для разных мод надо решить уравнения (2.53) или (2.54) графическим или численным методами. Для удобства графического решения введем -параметр волновода [см. формулу (2.6)]

Уравнение (2.57) определяет окружность в плоскости вспомогательных координат X и Y, где . Легко показать, что построение этой окружности в плоскости одновременно с построением кривых, описываемых уравнениями (2.53) и (2.54), позволяет найти постоянные распространения как точки пересечения кривых с окружностью (рис. 2.4). Это построение оказывается очень наглядным, так как позволяет показать, что постоянная распространения ТЕ-моды для данных значений половинной толщины волновода и показателей преломления пленки и оболочки может быть получена нахождением координат точки пересечения кривых типа (2.53), (2.54) для различных мод и окружности (2.57), характеризующей свойства волновода.

С помощью рис. 2.4 можно также определить число направляемых мод, поддерживаемых волноводом. Например, для типичной толщины пленки 1 мкм имеется три точки пересечения окружности

с набором характеристических кривых: соответственно в волноводе могут распространяться три первых моды Если толщина пленки волновода больше или меньше, число возможных направляемых мод соответственно увеличивается или уменьшается. Например, построение кривых, соответствующих мкм, показывает, что только одна мода может существовать в данном волноводе, а остальные отсекаются. Мода претерпевает отсечку, когда соответствующая ей постоянная распространения становится равной аналогичному значению для плоской волны в материале оболочки. Из уравнения (2.35) видно, что при величина становится мнимой и в результате поле моды в оболочке из затухающего превращается в осциллирующее; следовательно, поле уже не удерживается в пленке и соответствующая мода становится излучательной.

Рис. 2.4. Графическое решение характеристического уравнения для ТЕ-мод симметричного пленочного волновода при и для мкм (публикуется с разрешения издательства «Прентис-Холл»)

Предельное условие

называется условием отсечки для данной моды.

Уравнение (2.45) для симметричного волновода имеет вид

или

Введенную здесь величину называют приведенной постоянной распространения

В случае отсечки и характеристическое уравнение преобразуется к виду

где — значение -параметра волновода, при котором данная мода претерпевает отсечку.

Для фундаментальной моды т. е. в симметричном волноводе фундаментальная мода не претерпевает отсечки и распространяется, какой бы малой ни была толщина волновода. При начинается распространение моды т. е. диапазон определяет одномодовый режим работы волновода.

Для любой моды с индексом из уравнений (2.61) и (2.57) можно найти критическую толщину волновода, при которой происходит отсечка моды,

С другой стороны, если толщина волновода неизменна, а меняется длина волны распространяющегося излучения, то можно найти длину волны отсечки для данной моды

Интересно отметить, что условия отсечки моды можно сопоставить с условиями, соответствующими ситуации, когда плоская волна, описывающая данную моду, более не претерпевает полного внутреннего отражения на границе пленка—оболочка.

Из уравнений (2.51) и (2.58) мы находим, что для возникновения отсечки надо, чтобы

т. е.

Определения критического угла для полного внутреннего отражения [см. формулу (2.31) ] и угла данной моды (см. рис. 2.3) ясно показывают, что условие (2.65) есть не что иное, как условие нарушения полного внутреннего отражения на границе раздела пленка—оболочка.