2.3. Электромагнитная теория распространения излучения в оптических волноводах

Известно, что наиболее правильные результаты при описании любого оптического явления можно получить, применив математический аппарат волновой оптики, т. е. анализ распространения электромагнитных волн. В п. 2.2 мы показали, что основной механизм, обеспечивающий волноводное распространение в оптических волокнах, может быть полностью описан в рамках полного внутреннего отражения лучей.

Следует отметить, что оптико-геометрический подход оказывается полезным до тех пор, пока диаметр сердцевины волокна и величина А не становятся меньше некоторых значений. Чтобы представить себе примерные значения при которых геометрическая интерпретация достаточно правильна, оба эти параметра, а также длину волны распространяющегося излучения объединяют в один общий параметр, называемый нормализованной частотой, или -параметром, который определяется как

Если геометрический подход, основанный на лучевом приближении, дает точные результаты при рассмотрении большинства явлений распространения излучения в волокне [154]. При геометрическая оптика уже не может использоваться при анализе свойств оптических волокон и требуется полный электромагнитный анализ, основанный на положениях волновой оптики.

В качественном приближении можно рассуждать так: если диаметр сердцевины сравним с длиной волны света, тогда оптическое волокно можно рассматривать только как волновод, работающий на оитических частотах, аналогично тому, как рассматриваются металлические волноводы для диапазона.

Рис. 2.3. Сечение пленочного волновода, однородное в плоскости а — геометрическая структура волновода; — схематическое представление компонента - моды, показывающее падающую, отраженную и затухающую волны в различных областях волновода

С другой стороны, некоторые результаты, полученные с помощью волновой теории, могут быть сведены к результатам геометрического расчета, если предположить, что к

Хорошо известно, что ограниченный оптический пучок диаметром распространяющийся в однородной среде, характеризуется дифракционной расходимостью

Однако при распространении по волокну, в котором и сердцевина, и оболочка однородны, большинство лучей, формирующих пучок, совершает многократные полные внутренние отражения, тем самым влияние дифракционной расходимости существенно ограничивается и пучок продолжает сохранять свое поперечное сечение [78].

На практике самым простым примером оптического волновода является пленочный (рис. 2.3). Пленочный волновод представляет собой двумерную структуру, состоящую из однородной пленки толщиной в несколько микрометров с показателем преломления не ограниченную в направлении у. Эта пленка нанесена на подложку с показателем преломления Сверху над пленкой расположен материал покрытия с показателем преломления

Таким образом, планарная геометрия структуры такова, что она бесконечна в направлении плоскости и имеет толщину в направлении х.

Планарная структура интересует нас прежде всего потому, что на ее примере с помощью простых вычислений можно выявить основные особенности явления волноводного распространения света. Физические особенности волноводного распространения в оптических волокнах, характеризующихся цилиндрической симметрией, для анализа которых требуются громоздкие вычисления, могут быть в общих чертах предсказаны на основе результатов, полученных при рассмотрении планарной структуры. Пленочные и несколько более сложные полосковые структуры (в которых волновод ограничен в направлениях х и у), имеют также важное практическое значение при разработке интегрально-оптических устройств. Некоторые оптические датчики, создаваемые в настоящее время, основаны на применении интегрально-оптических структур.

Проблема распространения электромагнитной волны в оптическом волноводе требует решения (с учетом граничных условий) известных уравнений Максвелла, которые в системе МКС имеют вид [78]:

совместно с материальными уравнениями, определяющими свойства среды, в которой происходило распространение:

где Е и Н — напряженность электрического и магнитного полей соответственно; и В — электрическая и магнитная индукция; — плотность тока; и [Л — проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемость рассматриваемой среды.

Уравнения Максвелла (2.8)-(2.11), хотя и являются дифференциальными уравнениями первого порядка, образуют систему связанных дифференциальных уравнений, решение которой с учетом граничных условий иногда представляет существенные трудности. Эти трудности можно преодолеть, если записать так называемое «волновое» уравнение, которое является уравнением второго порядка с разделяющимися переменными и решеиие которого в

зависимости от граничных условий, т. е. от свойств среды, дает характеристики волноводного распространения в достаточно простой форме.

Чтобы вывести волновое уравнение, соответствующее диэлектрической пленочной структуре (см. рис. 2.3), мы должны положить, что и — поскольку среда немагнитная — ( — магнитная проницаемость свободного пространства). Применив к выражению (2.8) оператор ротора, мы получим

Подставляя в формулу (2.15) уравнение и используя векторное тождество

мы преобразуем ее к виду

Аналогично можно получить уравнение для вектора Н

Уравнения (2.17) и (2.18) известны как векторные волновые уравнения. Если мы предположим, что т. е. свойства среды не меняются вдоль направления распространения волны, то решение уравнения (2.17) можно записать в такой форме:

где направление распространения выбрано вдоль оси а Р называется постоянной распространения.

Аналогичным образом можно предположить, что решение для магнитного поля имеет форму

Уравнения (2.18) и (2.20) описывают плоские волны, являющиеся решениями волновых уравнений для данного значения постоянной распространения значения которой, в свою очередь, определяются параметрами волновода. На самом же деле, граничные условия, накладываемые параметрами волновода, допускают существование только определенных дискретных значений Поперечные распределения поля соответствующие этим значениям называются в соответствии с применяемой терминологией модами волновода. Волноводная мода определяется как некоторое особое распределение поля, которое распространяется вдоль волновода с сохранением определенного состояния поляризации, постоянной групповой скоростью и без изменения структуры своего первоначального

поперечного распределения. В зависимости от геометрии и физических характеристик волновода последний может поддерживать распространение нескольких мод или только одной моды. В первом случае волновод называется многомодовым, во втором — одномодовым. На практике в большинстве случаев полное выражение для поля в волноводе, возбуждаемом оптическим пучком, может быть представлено в виде суммы мод, которые распространяются внутри волновода (так называемые направляемые волноводные моды) и континуума излучательных, т. е. не направляемых волноводом, мод.

Ниже мы рассмотрим планарные волноводы, в которых диэлектрическая постоянная считается зависящей только от одной координаты, т. е. . В этом случае зависимость электрического и магнитного полей от координаты у выражается в форме

где у — положительная константа, что непосредственно вытекает из формул (2.17) и (2.18). В пленочном волноводе, геометрия которого позволяет считать его размеры бесконечными в плоскости (см. рис. 2.3), мы можем без потери общности положить Это означает, что волна распространяется вдоль оси Таким образом, решения выражений (2.17) и (2.18) надо искать в форме

Для того чтобы получить точное выражение для непосредственно накладывая граничные условия на уравнение (2.17), мы используем иную процедуру, допускающую более ясную физическую трактовку. Подставляя решение в форме выражений (2.22) и (2.23) в уравнения Максвелла (2.8) и (2.9) и выписывая х, у, z — составляющие результирующих уравнений, получаем следующую систему уравнений:

Уравнения (2.24)-(2.29) показывают, что начальные максвелловские уравнения распадаются на две группы. Одна содержит компоненты связанные с помощью формул (2.24)- (2.26). Другая группа — выражения (2.27)-(2.29) — связывает

компоненты и Ну. Первая группа уравнений определяет поперечные электрические Т-моды, у которых продольный компонент электрического поля равен 0. Вторая группа соответственно описывает поперечные магнитные ТМ-моды

Далее из формул видно, что для описания ТЕ-мод достаточно знать единственный не нулевой компонент электрического поля, т. е. так как однозначно определяются с помощью этих уравнений. Аналогично знания достаточно для однозначного описания -мод.

Дифференцируя выражение (2.25) и исключая из уравнений (2.24) и (2.26), мы получаем волновое уравнение для компонента в виде

где

Величина в формуле (2.31) есть поперечная составляющая волнового вектора в волноводе, а его продольная составляющая равна Уравнение (2.30) называется скалярным волновым уравнением, решением которого являются -моды пленочного планарного волновода 1. Решения выражения (2.30) для покрытия, пленки и подложки имеют вид:

Здесь А, В, С, D — константы;

Из общих соображений поле направляемой волны должно спадать до малых значений в подложке и в покрытии, а в пленке может иметь осциллирующий характер. Следовательно, параметры должны быть положительными. Поэтому для направляемой моды постоянная распространения Р должна удовлетворять соотношению

Теперь, чтобы найти точные значения, которые может иметь Р в интервале (2.38), надо наложить граничные условия, а именно: тангенциальные компоненты и их производные для ТЕ-мод непрерывны на границах рис. 2.3), т. е.

Здесь индексы при компонентах соответствуют значениям этих полей в покрытии, пленке и подложке.

Учет граничных условий приводит к системе четырех уравнений:

Исключая из формул (2.40) и (2.41) величину а из формул (2.42), (2.43) — величину А и решая получившиеся уравнения, находим, что

С помощью простых алгебраических операций из формулы (2.44) получаем

где

Поскольку принимает только дискретные значения, подстановка уравнения (2.30) в уравнение (2.45) и последующее решение получившегося уравнения дадут значения для различных ТЕ-мод волновода, соответствующие разным значениям Случай соответствует фундаментальной моде Уравнения (2.45) называются характеристическими — они определяют постоянные распространения различных мод рт.

Решая уравнения (2.40) и (2.41), мы можем выразить В и С через следующим образом:

Следовательно, полное выражение для поля внутри пленки (2.33) приобретает вид

Используя формулы (2.46), мы преобразуем выражение (2.48) следующим образом:

где Физический смысл выражения (2.49) состоит в следующем: поле моды внутри волновода формируется двумя плоскими волнами, распространяющимися в направлениях и составляющими с осью углы соответственно (см. рис. 2.3). Угол определяют с помощью выражения

Следовательно,

Интересно отметить, что если бы не было условий для волноводного распространения, т. е. если бы пленка превратилась в бесконечно толстый слой однородного материала, то плоская волна в нем имела бы постоянную распространения Поскольку каждой моде соответствует определенное дискретное значение то в соответствии с выражением (2.51) и углы распространения разных мод различны и имеют дискретные значения.