2.9. Градиентное оптическое волокно

В п. 2.8 было показано, что разница времен прохождения луча по волокну со ступенчатым профилем преломления для самой длинной и кратчайшей траекторий пропорциональна А [см. формулу (2.123)], следовательно, ширина полосы пропускания этих волокон существенно ограничена сверху и не превышает обычно С другой стороны, как будет показано далее, - более плавный рефракционный профиль волокна приводит к значительному расширению полосы передаваемых частот. Наиболее известная форма распределения показателя преломления по радиусу описывается степенной зависимостью [160]

где — показатель преломления на оси; А — относительная разность показателей преломления центра сердцевины и оболочки, определяемая согласно формулам (2.154) как

причем последнее приближенное равенство выполняется только для слабонаправляющих волокон.

В выражениях (2.154) показатель степени определяет форму профиля показателя преломления. Преимущество такого представления заключается в том, что оно позволяет описывать широкий спектр различных распределений, начиная с треугольного и кончая ступенчатым (рис. 2.13, а). Случай соответствует параболическому профилю. Для этого случая можно показать (в приближении ), что временной интервал при прохождении луча по кратчайшей и наиболее протяженной траекториям составляет [23]

Сравнив выражения (2.156) и (2.123), можно убедиться, что для одинаковых значений и параболическое волокно

обеспечивает частичное выравнивание времени пробега различных лучей, поскольку пропорционально а не А, как в эквивалентном ступенчатом волокне. Например, для км в ступенчатом волокне не, а в градиентном нс, т. е. более чем на 2 порядка временная дисперсия меньше в градиентном волокне (при условии Далее будет показано, как можно еще уменьшить временную дисперсию за счет дальнейшей оптимизации волокна. Соответственно ширина полосы пропускания градиентного волокна составляет от до но наиболее типичное значение для реальных волокон находится вблизи

Рис. 2.13. Распределение показателя преломления (профиль) оптического во локна: а — степенные распределения с разными — профиль реального параболического волокна (сплошная линия) и параболическое распределение, продолженное в бесконечность (штриховая)

Электромагнитный анализ распространения излучения в градиентном волокне.

В п. 2.8 мы получили точное волновое решение для ступенчатого волокна, решая скалярное волновое уравнение для цилиндрической направляющей структуры (2.105). В отличие от ступенчатого волокна в градиентном показатель преломления есть функция радиуса что требует решения уравнения (2.105) с учетом Перепишем это уравнение для градиентного волокна:

Как правило, общего решения уравнения (2.157) для всех возможных не существует. Есть только два значения допускающие точное решение, причем первый случай был

рассмотрен в Для параболического волокна мулу (2.157) можно трансформировать в уравнение Уиттекера, а поля в сердцевине и оболочке представить в виде функций Уиттекера и модифицированных функций Бесселя соответственно [154]. Условия сшивания полей при приводят к весьма запутанным вычислениям для получения спектра постоянных распространения

Можно, однако, предельно упростить анализ распространения лучей в градиентном волокне, если предположить, что в сердцевине показатель преломления падает монотонно по тому же закону, что и в оболочке (рис. 2.13, б). Для такого расширенного параболического профиля, представляемого законом

для всех решение для -мод имеет вид присоединенных функций Лагерра [91, 154,206], у которых постоянные распространения в первом приближении по А

Следовательно, условие (2.110), определяющее волноводный режим, может быть применено, чтобы определить, какие из этих мод являются волноводными. Для этого применим условие отсечки к спектру (2.159). Такой подход не очень корректен по отношению к определенной группе постоянные распространения которых имеют значения, близкие к и которые, следовательно, имеют поля, глубоко простирающиеся в оболочку. Напротив, большинство мод с постоянными распространения имеют поля, которые лишь незначительно заходят в оболочку. Для них описываемый подход весьма корректен, особенно в части расчета постоянных распространения.

Поскольку групповая скорость моды

из уравнения (2.159) ясно, что если пренебречь материальной дисперсией, т. е. зависимостью и А от длины волны, групповая скорость 1

и не зависит от . Поэтому и время прохождения разных мод по волокну определенной длины приблизительно одинаково для всех мод. Этот результат подтверждает, что у параболических волокон временная дисперсия очень мала. Вместо гипотетического спадания показателя преломления за пределами

сердцевины можно учесть влияние реальной оболочки с постоянным индексом с помощью теории возмущений [274, 324 ], заимствованной из квантовой механики [153].