2.5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРИ МДЧР

Как следует из принципа организации ССС с МДЧР, станции излучают сигналы на разных несущих таким образом, что их спектры практически не перекрываются. Хотя усиление сигналов всех станций в бортовом ретрансляторе является нелинейной операцией и сопровождается появлением продуктов интермодуляции, относительно каждого индивидуального сигнала эту операцию можно считать линейной. Сумма продуктов интермодуляции в каждом канале, как правило, является нормальным шумом. Поэтому полагаем, что передача сигнала в ЦССС с МДЧР осуществляется по линейному каналу с гауссовским шумом и совокупностью помех от соседних сигналов. Структурная схема одного канала системы связи показана на рис. 2.11. Задача оптимизации состоит в таком выборе параметров сигналов, чтобы обеспечить максимальную пропускную способность системы связи.

Если предположить, что все сигналы в системе идентичны (одинаковая мощность, один вид модуляции и т. д.), то пропускная способность системы будет пропорциональна числу несущих в стволе ретранслятора. Увеличение числа сигналов

Рис. 2.11. Структурная схема линейного канала

и, следовательно, уменьшение частотного разноса между каналами приводят к возрастанию межканальных помех (МКП), обусловленных действием соседних каналов. Уровень МКП можно снизить, применяя более сложные фильтры в тракте передачи и приема. Но это, в свою очередь, вызовет увеличение межсимвольной интерференции (МСИ), которая также ухудшает помехоустойчивость. Таким образом, для заданного частотного разноса между каналами существует оптимальная комбинация фильтров передачи и приема, при которой реализуется наилучшая помехоустойчивость. Выбору параметров этих фильтров посвящен настоящий параграф.

Для систем с фазовой манипуляцией, в принципе, не имеет значения место включения фильтров на передающем и приемном концах тракта. Они могут быть включены по высокой частоте, как это показано на рис. 2.11, или по низкой частоте до модулятора и после демодулятора, может использоваться также комбинация ВЧ и НЧ фильтрации.

При анализе удобно оперировать приведенными характеристиками фильтров. Полосовой фильтр с коэффициентом передачи можно заменить двумя НЧ фильтрами: фильтром определяющим синфазную составляющую, и фильтром определяющим квадратурную составляющую. Здесь низкочастотные эквиваленты полосового фильтра, определяемые соотношениями:

где . В дальнейшем при анализе будем оперировать НЧ эквивалентами. Полагаем, что характеристики полосовых систем симметричны: При этом

Спектр сигнала на выходе передающего фильтра

где спектр воздействия на входе передающего фильтра; коэффициент передачи передающего фильтра. Спектр на выходе приемного фильтра с коэффициентом передачи

Временной отклик можно вычислить с помощью преобразования Фурье:

Если на входе передающего фильтра действуют прямоугольные импульсы с длительностью Т, то спектр воздействия

Если воздействие осуществляется -импульсами, то Такой спектр получается при действии прямоугольного импульса и установке в тракте передачи амплитудного корректора с АЧХ вида

Максимальное значение отношения сигнал-помеха на выходе приемного фильтра в отсчетный момент времени достигается, как известно [39], при условии

где энергетический спектр помехи на входе приемного фильтра; V — задержка, выбираемая из условия физической реализации передающего и приемного фильтров.

Для отсутствия МСИ необходимо, чтобы отклик на выходе приемного фильтра удовлетворял условию отсчетности

Покажем, что этому условию удовлетворяют сигналы, спектры которых являются активными и удовлетворяют условию (спектры Найквиста) где — текущая частота.

Представим спектр в виде (рис. 2.12, а, б)

Здесь Импульсный отклик от можно представить в виде [45]

из которого следует, что в точках выполняется условие (2.19), если Наиболее часто рассматривают спектры Найквиста с так называемым косинусным скруглением, которые задают соотношением

Соответствующая форма отклика

Коэффициент а характеризует степень скругления спектра.

На рис. приведены частные случаи спектра Найквиста. Максимальная эффективность использования полосы частот достигается при формировании спектра на передачу в виде АЧХ идеального ФНЧ. При использовании скругленного спектра формы косинуса (2.20) эффективность использования полосы уменьшается обратно пропорционально коэффициенту скругления. Если разнос частот между каналами выбрать меньше это приведет к появлению межканальных помех.

Цепи, позволяющие получить спектры Найквиста, могут быть

Рис. 2.12. Спектры Найквиста

Рис. 2.13. К формированию спектра спектр мешающего сигнала)

реализованы лишь с конечной степенью точности. При этом условие (2.19) не выполняется и в отсчетный момент на выходе приемного фильтра будет межсимвольная помеха от предыдущих и последующих посылок сигнала. Кроме того, из-за несогласованности характеристик приемного фильтра со спектром сигнала на его входе отношение напряжения полезного сигнала к эффективному значению шума не достигает предельного значения. Далее, физически реализуемые цепи имеют конечную скорость убывания модуля коэффициента передачи при возрастании частоты, что приводит к МКП при любом разносе частот каналов.

Таким образом, при учете реальных характеристик передающего и приемного фильтров прием неоптимален и ведется в условиях межканальных помех. На примере сигналов ФМ-2 рассмотрим анализ помехоустойчивости и определим оптимальные параметры фильтров передачи и приема.

Помехоустойчивость когерентного приема сигналов символа) в условиях МСИ и МКП определяется соотношением

где дополнение интеграла вероятностей до единицы; значения межсимвольных и межканальных помех в отсчетный момент приема символа; дисперсия шума на выходе приемного фильтра, Остановимся сначала на оценке вклада

На рис. 2.13 показано образование спектра МКП на выходе приемного фильтра. Если фильтр приема имеет полосу а фильтр передачи в канале помехи — полосу , то спектр МКП (заштрихован на рис. 2.13) определяется фильтрацией спектра помехи фильтром с полосой Ниже показано, что оптимальная полоса приемного фильтра а оптимальная полоса Ппер Тогда для часто используемых разносов частот между каналами полоса Таким образом, помеха от одного соседнего канала является результатом узкополосной фильтрации ФМ сигнала, что позволяет считать распределение ее значений гауссовским. Это тем более справедливо для оценки мешающего действия суммы

Рис. 2.14. К оценке максимальной межсимвольной помехи

двух независимых МКП от каналов, расположенных по обе стороны от центральной частоты полезного сигнала. Тогда формула (2.22) примет вид

где стмкп — дисперсия МКП на выходе приемного фильтра. Замена реального распределения на гауссовское с той же дисперсией дает оценку сверху для вероятности ошибки.

Перейдем к оценке вероятности ошибки в условиях МСИ. Известно множество работ, в которых анализируется помехоустойчивость приема сигналов ФМ-2 и ФМ-4 при учете МСИ. Основные методы анализа следующие:

1) наихудшего случая [40], который отличается простотой расчетов, но может привести к сильно завышенным значениям вероятности ошибки;

2) использования границы Чернова [40], который облег чает расчеты, но также дает завышенные значения вероятности ошибки;

3) усреднения вероятности ошибки по всем возможным комбинациям интерферирующих символов [34].

Приведем основные соотношения по каждому из этих методов.

1. Методом наихудшего случая по виду реакции канала на единичный символ определяют такую комбинацию предшествующих и последующих символов, для которых отклики от всех интерферирующих символов в отсчетный момент времени для заданного импульса складываются с одним знаком. Это иллюстрируется рис. 2.14, на котором в верхней части показан отклик канала на единичный импульс (заштрихован на нижней части рисунка). Легко видеть, что изображенная комбинация символов дает максимальное отрицательное значение межсимвольной помехи в отсчетный момент, равное в общем случае

где соответственно число учитываемых предшествующих и последующих мешающих символов. Если в выражении (2.23) положить вместо максимальное значение, то получим верхнюю оценку

Это выражение и есть оценка в методе наихудшего случая. Она оказывается тем не менее достаточно точной для фильтров с быстрым спадом импульсной реакции, в частности, для апериодических фильтров, которые характеризуются экспоненциальным спадом импульсной реакции. В этом случае основное влияние оказывают первый предшествующий и первый последующий символы и плотность распределения межсимвольной помехи сосредоточена в точках

Используя эту оценку, можно, в частности, показать, что безошибочный посимвольный прием сигналов, прошедших через идеальный фильтр, невозможен, даже если полоса фильтра больше скорости передачи. В этом случае (воздействие в виде -импульсов)

Ряд (2.25) является расходящимся, если только т. е. всегда найдется такая комбинация интерферирующих символов, которая приведет к межсимвольной помехе, превышающей отсчетное значение отклика. Так, для случая комбинация из 13 предшествующих импульсов может дать значение превышающее отсчетное значение при равное 1. В этой связи использовать идеальные спектры с откликом вида при анализе ЦСП следует с известной осторожностью. На этом вопросе мы еще остановимся в следующем параграфе.

2. Обратимся к оценке границей Чернова. Запишем общее выражение для сигнала на выходе приемного фильтра в виде где отклик канала на единичный импульс, сумма теплового шума и межканальных помех. В отсчетный момент

Из (2.26) вероятность ошибки определяется как Согласно методу Чернова оценивается сверху

где параметр выбирается по минимуму правой части (2.27). Окончательное выражение имеет вид [34]

Несомненное преимущество двух рассмотренных выше методов — в простоте получения оценки, для которой необходимо знать только форму отклика на выходе приемного фильтра. Недостаток этих методов — их невысокая точность.

3. Метод оценки усреднением вероятности ошибки по всем возможным комбинациям интерферирующих символов позволяет получить достаточно точные результаты и не представляет трудностей при расчетах на ЭВМ. Суть его состоит в том, что по формуле (2.23) производится расчет при всех возможных комбинациях межсимвольной помехи с последующим усреднением по вариантам:

Ниже даны результаты расчета и оптимизации параметров фильтров с использованием этого метода. Приведем дополнительные соотношения, которые понадобятся при анализе. Энергия сигнала на входе приемного фильтра

Эффективная полоса приемного фильтра

Мощность МКП при учете только двух первых соседних по частоте мешающих сигналов

Как отмечалось выше, имеются три вида энергетических потерь при приеме сигналов в системах МДЧР: потери несогласованности, потери за счет МСИ и потери из-за МКП.

Потери из-за несогласованности приемного фильтра со спектром сигнала на его входе определяют следующим образом. Если приемный фильтр согласован с сигналом, то отношение пикоюго напряжения на его выходе к эффективному значению шума определяется известным выражением где -энергия сигнала на входе приемного фильтра. В реальных условиях Энергетические потери несогласованности

Потери из-за действия определяют после вычисления вероятности ошибки с учетом МСИ - по (2.29) и в предположении отсутствия МСИ по формуле Потери из-за МКП при принятом предположении об их нормальном распределении определяются аналитически