Анализ точности систем ВН.

Рассмотрим сначала схему ВН с учетверением (см. рис. 3.8). При возведении в четвертую степень суммы сигнала и шума получим

Ограничимся сначала случаем немодулированной несущей и малого шума, тогда Для сигнала и шума в виде суммы двух ортогональных компонент после некоторых преобразований получим выражение для четвертой гармоники учетверителя

Здесь шум имеет те же статистические характеристики, что и входной шум но со спектром, перенесенным на частоту Если в качестве фильтра используют схему ФАП (рис. 3.8, в), то уравнение для разности фаз имеет вид [61]

Здесь расстройка входной частоты ФМ сигнала относительно номинальной частоты полоса удержания.

Рассмотрим сначала линеаризованное уравнение, положив в выражении

Так как опорное колебание получается делением частоты на четыре, то и, следовательно, Это уравнение совпадает с линейным уравнением обычной ФАП, из которого следует, что

где шумовая полоса ФАП, определяемая известным соотношением

В частности, для случая использования в схеме ФАП пропор ционально-интегрирующего фильтра

Если в качестве фильтра в схеме ВН с учетверением используют ПФ в виде одиночного резонансного контура с полосой , то

Определим плотность вероятности фазовой ошибки и среднее число срывов синхронизации. Если в уравнении (3.5) перейти к фазе то получим уравнение для фазовой ошибки в следующем виде:

Рассмотрим сначала бесфильтровую схему Тогда

Точки устойчивого равновесия уравнения (3.8) имеют период поэтому срыв синхронизации (перескок фазы) соответствует переходу фазы из одного стационарного состояния в другое что и является причиной неоднозначности фазы СВН (в данном случае 4-го порядка). При приеме сигналов с числом фаз М точки устойчивого равновесия любой СВН будут располагаться через вызывая неоднозначность фазы порядка М.

Применяя для нахождения и среднего числа перескоков фазы аппарат теории марковских процессов 139], можно получить следующие выражения:

При высоком соотношении сигнал-шум

Здесь дисперсия фазовой ошибки в линейном приближении.

Эти выражения можно получить также из (3.5) с учетом того, что спектральная плотность шума равна

Для сигналов ФМ-М формулы (3.9), (3.10), очевидно, останутся без изменений, а входящая в них величина

Сопоставим полученные результаты с соответствующими мулами для обычной ФАП, фильтрующей сигнал на фоне шума со спектральной плотностью . В этом случае [39]:

Здесь дисперсия фазовой ошибки в линейном приближении, При малых шумах

Сравнивая выражения (3.9), (3.10) с формулами (3.12), (3.13), можно видеть, что в линейном приближении их характеристики одинаковы. Однако по величине среднего числа срывов синхронизма сравниваемые системы существенно различаются. Так, из (3.10), (3.11), (3.13) следует, что

т. е. число срывов синхронизма в СВН существенно больше, чем у схемы ФАП с той же шумовой полосой. Это можно объяснить сокращением интервала между точками устойчивого равновесия схемы ВН в М раз по сравнению с обычной ФАП.

Если в СВН используется для фильтрации полосовой фильтр, то среднее число перескоков фазы

где радиус инерции шума на выходе фильтра: коэффициент корреляции шума на выходе шумовая полоса. Сравнение (3.14) с аналогичными зависимостями для СВН ФАП, при одинаковой шумовой полосе, показывает, что число перескоков в СВН-ФАП несколько меньше. Точную оценку можно найти в [62].

Учет продуктов умножения типа увеличивает спектральную плотность шума на входе фильтра

СВН и соответственно, величину Это увеличение характеризуется коэффициентом

где - отношение сигнал-шум на входе учетверителя.

Обратимся к рассмотрению схемы Костаса. Если обозна чить напряжение на выходах (см. рис. 3.5, а) соответст венно через х и у, то управляющее напряжение на выходе сумматора равно При приеме немодулирован ной несущей и шума

где независимые гауссовские процессы со спектральной плотностью

С учетом выражения (3.15) уравнение такой системы можно представить в виде

Заменяя в их условными средними значениями и обозначая

получаем уравнение схемы в следующем виде [631:

Здесь

эквивалентная характеристика отношение сигнал шум на входе СВН.

Функция имеет период и ее вид для нескольких значений на входе СФН дан на рис. 3.10. Как видно из этого рисунка, эквивалентная характеристика ФД в СВН Костаса зависит от отношения сигнал-шум и при отношении, примерно равном 10 дБ. ее можно считать практически синусоидальной вида Если подставить это выражение для в (3.17), то получим дифференциальное уравнение СВН Костаса в виде, аналогичном уравнению СВН с умноже нием . Следовательно, все основные характеристики этих двух схем при отношении сигнал-шум менее 10 дБ идентичны.

Рис. Эквивалентная характеристика ФД СВН с ремодуляцией и ФАП для сигналов ФМ-4

Рис. 3.11. Зависимость плотности распределения разности фаз от относительной начальной расстройки по частоте

Применяя для анализа уравнения (3.17) аппарат марковских процессов, можно найти плотность распределения фазовой ошибки и среднее число срывов синхронизма СВН Костаса.

На рис. 3.11 представлены зависимости для нескольких значений на рис. 3.12 зависимость для разных значений для СВН с ремодуляцией при приеме сигналов ФМ-2 [631. На рис. 3.12 представлены также зависимости числа перескоков для схемы ФАП с той же шумовой полосой, что откуда видно, что в СВН значительно выше. При высоких отношениях сигнал-шум разность в их отношении, при которой составляет по данным рис. 3.12 примерно 6 дБ. В общем случае СВН требует приблизительно на

Рис. 3.12. Зависимость относительного числа перескоков от отношения сигнал-шум в информационном канале и от отношения полос пропускания системы и информационного канала при

Таблица 3.1

более высокого отношения сигнал-шум для получения одинакового с ФАП числа срывов синхронизма.

Выше рассмотрены характеристики СВН без учета манипуляции. При прохождении модулированного сигнала через тракт с ограниченной полосой изменения фазы сигнала происходят непрерывно и, следовательно, операции снятия манипуляции в СВН неточны. При этом, с одной стороны, уменьшается уровень восстановленной несущей в СВН, с другой, появляется случайная составляющая фазовой ошибки, обусловленная случайным характером манипуляции (манипуляционная помеха) [64]. Степень уменьшения уровня восстановленной несущей, определенная на основе спектрального анализа сигнала на выходе схем с возведением сигнала в степень и ремодуляцией в предположении, что при фильтрации огибающая сигнала приобретает трапецеидальную форму, представлена в табл. 3.1.

Фазовая ошибка, обусловленная манипуляционной помехой, незначительна для сигналов ФМ-2 и практически соизмерима с шумовой при для сигналов ФМ-4 [64].