Главная > Радиотехнические цепи и сигналы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.2. Корреляционный анализ сигналов

На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех или иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой.

В настоящее время ситуация в корне изменилась. В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.

Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.

Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до пели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине — задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и и принятого и сигналов одинаковы при любых задержках.

Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 3,3.

Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени

Рис. 3.3. Устройство для измерения времени задержки сигналов

Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.

Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени.

Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения.

Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов.

Автокорреляционная функция сигнала.

Для количественного определения степени отличия сигнала и и его смещенной во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала , равную скалярному произведению сигнала и копии:

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных то

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см. гл. 1):

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.


Пример 3,3. Найти АКФ прямоугольного видеоимпульса.

На рис. 3.4,а изображен прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U и длительностью Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на . Интеграл (3.15) вычисляется в данном случае элементарно на основании графического построения. Действительно, произведение и и отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4, о видно, что этот временной интервал равен если сдвиг не превышает длительности импульса. Таким образом, для рассматриваемого сигнала

График такой функции — треугольник, изображенный на рис. 3.4,б. Ширина основания треугольника в два раза больше длительности импульса.

Рис. 3.4. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса

Пример 3.4. Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса.

Будем рассматривать радиосигнал вида

Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл (3.15), полагая . При этом

откуда легко получаем

Естественно, что при величина становится равной энергии этого импульса (см. пример 1.9). Формула (3.21) описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах , лежащих в пределах Если абсолютное значение сдвига превышает длительность импульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль.

Пример 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

В радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, например положения во времени, создают устройства, которые аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ.

Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: а — пачка импульсов; б — график АКФ

На рис. 3.5, в изображена пачка, состоящая из трех одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.15) (рис. 3.5, б).

Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при Однако если задержка оказывается кратной периоду последовательности (при в нашем случае), наблюдаются побочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому можно говорить об известном несовершенстве корреляционной Структуры данного сигнала.


Автокорреляционная функция неограниченно протяженного сигнала.

Если требуется рассматривать неограниченно протяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.

Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т. е. импульсного, сигнала, когда длительность последнего стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений, определим иовую АКФ как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии:

При таком подходе автокорреляционная функция становится равной средней взаимной мощности этих даух сигналов.

Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды можно воспользоваться формулой (3.21), полученной для радиоимпульса длительностью а затем перейти к пределу при учитывая определение (3.22). В результате получим

Эта АКФ сама является периодической функцией; ее значение при равно

Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.

При изучении материала настоящей главы читатель может подумать, что методы корреляционного анализа выступают как некоторые особые приемы, не имеющие связи с принципами спектральных разложений. Однако это не так. Легко показать, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

Действительно, в соответствии с формулой (3.15) АКФ есть скалярное произведение: Здесь символом обозначена смещенная во времени копия сигнала и ,

Обратившись к обобщенной формуле Рэлея (2.42), можно записать равенство

Спектральная плотность смещенного во времени сигнала

Таким образом, приходим к результату:

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Ясно, что имеется и обратное соотношение:

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точней зрения возможности точного измерения момента его начала.

Во-вторых, формулы (3.24) и (3.26) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.


Пример 3.6. Найти АКФ сигнала с равномерным и ограниченным по частоте энергетическим спектром.

Пусть сигнал имеет энергетический спектр вида

где — верхняя граничная частота спектра. По формуле (3.24) находим его автокорреляционную функцию

Таким образом, данный сигнал имеет АКФ лепесткового вида. Часто вводят удобный числовой параметр — интервал корреляции представляющий собой оценку ширины основного лепестка автокорреляционной функции. Легко видеть, что в рассматриваемом случае величина связана с параметром соотношением совтк Отсюда следует, что интервал корреляции

оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.


Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала.

Найденная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигнале, по определению, должен быть положительным [см. формулу (3.25)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять

и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то

Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала.

1
Оглавление
email@scask.ru