Дискретизация сигналов.

В задачах преобразования сигналов измерительной информации часто возникает необходимость представления непрерывных сигналов дискретными и восстановления сигнала по его дискретным значениям. При этом непрерывный сигнал представляется совокупностью дискретных значений (рис. 4-6, а, б), по которым с помощью некоторого способа восстановления может быть получена оценка исходного непрерывного сигнала

Процесс преобразования называется дискретизацией непрерывного сигнала. Наиболее часто применяют равномерную дискретизацию сигналов, при которой интервал времени между двумя соседними отсчетами — шаг дискретизации остается постоянным.

Восстановление кривой сигнала по дискретным отсчетам осуществляется различными базисными функциями. В качестве таких функций широко применяют различные полиномы, в частности полиномы Лагранжа. Так, на рис. 4-6, а, б показаны исходный сигнал и восстановленный по дискретным отсчетам

сигнал полученный на основании применения полиномов Лагранжа нулевой и первой степени. Такое восстановление сигналов называют также нулевой экстраполяцией и линейной интерполяцией.

Качество приближения определяется погрешностью — Однако использование погрешности для оценки приближения на практике оказывается неудобным вследствие сложной временной зависимости Поэтому применяют некоторые числовые показатели приближения, характеризующие степень близости и . В качестве таких показателей могут быть использованы: показатель равномерного приближения

показатель среднего кзадратического приближения

где — максимальное значение модуля погрешности восстановления на интервале представления сигнала — средняя квадратическая погрешность восстановления; при расчетах часто определяют - среднее значение квадрата, или дисперсию, погрешности восстановления сигнала.

Определим при восстановлении кривой сигнала полиномами Лагранжа нулевой и первой степени. На каждом интервале дискретизации имеем:

— первая и вторая производные в лагранжевой точке лежащей внутри интервала дискретизации. Погрешности определяются остаточным членом интерполяционной формулы Лагранжа.

А. Показатель равномерного приближения. На каждом интервале дискретизации максимальная погрешность аппроксимации может быть оценена неравенствами:

где — максимальные значения модуля соответствующих производных на интервале дискретизации. В последнем выражении при

Для оценки максимальной погрешности восстановления по всему времени существования используется максимально возможное значение модуля соответствующей производной определяемое по множеству всех интервалов дискретизации. Следовательно, можно записать:

Полученные выражения позволяют также определять интервал дискретизации при заданной или допускаемой максимальной погрешности восстановления. Так, для

Для нахождения етах или необходимо знать или Возможны различные способы определения . В частности, можно воспользоваться неравенством С. Н. Бернштейна, утверждающим, что если сигнал ограничен по модулю некоторым максимальным значением и имеет ограниченный частотный диапазон то максимальное значение производной порядка ограничено неравенством следовательно,

Б. Показатель среднего квадратического приближения. Среднее значение квадрата погрешности для интервала Для оценки приближения по

всей реализации находят усредненное по всем интервалам дискретизации значение квадрата погрешности математическое ожидание этой погрешности

Опуская математические выкладки, для стационарного эргодического случайного сигнала можно записать:

где — нормированная корреляционная функция сигнала, дисперсия сигнала

Таким образом, процедура дискретизации и восстановления сигнала на базе полиномов Лагранжа сопровождается появлением погрешности, зависящей от степени полинома, характеристик сигнала и интервала дискретизации . В общем случае эта погрешность зависит также от вида функции, используемой при восстановлении кривой сигнала.