Глава шестнадцатая. ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

16-1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Измерения вероятностных характеристик случайных процессов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В настоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагностика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характеристиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов привела к развитию соответствующих методов и средств (преимущественно электрических). Появление анализаторов функций распределения вероятностей, коррелометров, измерителей математического ожидания, дисперсиометров и других видов измерителен вероятностных характеристик открыло новые возможности в области создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях (см. также § 2-2, 4-4).

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значение (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: — случайный процесс; — порядковый номер реализации случайного процесса — мгновенное значение процесса соответствующее значению реализации в момент времени. Случайным называют процесс мгновенные значения которого суть случайные величины.

На рис. 16-1 представлена в качестве примера совокупность реализаций случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра X от времени

Рис. 16-1. Совокупность реализаций случайного процесса

В теории случайных процессов их полное описание производится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функций, характеристических функций и т. п. В теории статистических измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществляется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая абстракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, представляют собой физические объекты или явления и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализаций то вероятностная характеристика 0 может быть определена усреднением по совокупности, т. е.

где некоторое преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики 0. Так, например, при определении дисперсии При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием реализации и тогда

Например, при определении математического ожидания

В общем случае результаты усреднения по совокупности (16-1) и по времени (16-2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (16-1) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (16-2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность. Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики не зависят от текущего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационарный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалентны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени).

Классифицируя случайные процессы на основе этих признаков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четыре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические.

Учет и использование описанных свойств случайных процессов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.

Поскольку измерение представляет собой процедуру нахождения величины опытным путем с помощью специальных технических средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических измерениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину.

Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения меры в процессе измерений, представляются в следующем виде:

Рис. 16-2. Средства измерений вероятностных характеристик случайных процессов, когда сравнение с образцовой мерой является заключительной (а), выполняется до усреднения (б) и является начальной (в) операцией

где — оператор усреднения; К — оператор сравнения; - результат измерения характеристики

Данные алгоритмы различаются порядком выполнения операций. Операция сравнения с образцовой мерой может быть заключительной [см. (16-4)], выполняться после реализации оператора но до усреднения [см. (16-5)] и, наконец, быть начальной [см. (16-6)]. Соответствующие обобщенные структурные схемы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 16-2.

На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (16-4) — (16-6), используются те же обозначения. Так, — устройство, выполняющее преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики — устройство усреднения (сумматор или интегратор); К — компаратор (сравнивающее устройство),

мера, с помощью которой формируется известная величина или

Представленное на рис. 16-2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализаций (при использовании усреднения по времени — одна реализация на выходе узла имеем совокупность преобразованных реализаций после усреднения получаем величину которая поступает на компаратор, осуществляющий сравнение с известной величиной в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики в

Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, представленным на рис. 16-2, б, заключается в том, что послеформирования совокупности она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной величиной на выходе компаратора формируется числовой массив и усреднение выполняется в числовой форме. На выходе усреднителя имеем результат измерения

Средство измерений (рис. 16-2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализаций случайного процесса после чего преобразование и усреднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквивалентно последовательному соединению аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессора). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализацию операторов и

Погрешность результата измерения вероятностной характеристики случайного процесса

Для статистических измерений характерно обязательное наличие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализаций случайного процесса, ибо при проведении физического эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализаций или бесконечный временной интервал. Соотношение (16-7) определяет результирующую погрешность, включающую в себя как методическую, так и инструментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для статистических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализаций и временного интервала.