4-6. СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Изменение во времени измеряемой величины приводит к динамическому режиму (см. § 4-3) работы средств измерений. В таком режиме точность измерений во многом зависит от динамических свойств средств измерений и от характера изменения измеряемой величины.

Для того чтобы выходной сигнал некоторого (идеального) средства измерений точно отображал во времени измеряемую величину независимо от характера ее изменения, необходимо соблюдение условия

где — номинальный коэффициент преобразования. Для упрощения анализа динамического режима примем, что средство измерений не имеет статической погрешности, т. е. реальный коэффициент преобразования во всем диапазоне изменения Уравнение (4-43) соответствует идеальному безынерционному линейному преобразованию. Из этого уравнения следует, что измеряемая величина может быть определена по выходному (наблюдаемому, регистрируемому) сигналу из соотношения При этом отсутствует какая-либо погрешность определения обусловленная изменением входной величины во времени.

Реальные средства измерений обладают динамическими (инерционными) свойствами из-за наличия элементов, запасающих энергию, например подвижных элементов, обладающих определенной массой, и упругих элементов в электромеханических приборах, емкостей и индуктивностей в измерительных цепях и т. д., что приводит к более сложной зависимости между

Существуют различные способы описания динамических свойств средств измерений и оценки погрешностей, возникающих в динамическом режиме. Наиболее полно эти свойства средств измерений могут быть описаны дифференциальными уравнениями,

Рис. 4-11. Входной и выходные сигналы некоторого реального и идеального (безынерционного) средств измерений

переходными и импульсными переходными характеристиками, частотными характеристиками и передаточными функциями.

Дифференциальные уравнения.

Динамический режим широкого класса средств измерений может быть описан линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Это уравнение отличается от уравнения (4-43) наличием членов, содержащих производные от выходного сигнала которые и определяют динамические свойства средств измерений. При равенстве нулю этих членов уравнение (4-44) вырождается в уравнение (4-43).

Решение дифференциального уравнения (4-44) описывает выходной сигнал средства измерения при входном воздействии На рис. 4-11 показаны выходные сигналы у (О некоторого реального и идеального (безынерционного) средства измерений при входном сигнале Погрешность по выходу средства измерений в динамическом режиме определяется выражением

Погрешность в динамическом режиме представляет собой алгебраическую сумму динамической и статической погрешности. Поскольку статическая погрешность принята равной нулю, то выражение (4-45) определяет только динамическую погрешность.

В задачу измерений входит нахождение значений измеряемой величины по значениям Если определять из соотношения а такой способ является наиболее распространенным в измерительной технике, то динамическая погрешность по входу средства измерений

Следовательно, при таком подходе погрешности различаются постоянным множителем

Вычитая из выражения (4-44) уравнение (4-43) с учетом (4-45), получим выражение для динамической погрешности по выходу средства измерений

Определение погрешности по этому выражению хотя принципиально и возможно, однако на практике встречает трудности, поскольку аналитическое выражение для у (0, как правило, неизвестно, а определение производных от например, графически по зарегистрированному выходному сигналу не может быть проведено с необходимой точностью. Поэтому часто применяют некоторые оценки динамической погрешности, характеризующие результат измерений переменной во времени величины При этом оказывается удобным оценивать динамические погрешности отдельно для переходного режима работы средства измерений и для установившегося.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами определяется суммой: где — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; — частное решение уравнения (4-44). Решение описывает свободные колебания, определяемые динамическими характеристиками средства измерений. Для устойчивых средств измерений свободные колебания являются затухающими, т. е. а продолжительность этих колебаний определяет продолжительность переходного режима. В измерительной технике переходный режим принято оценивать временем установления (в более общей трактовке — временем реакции, см. § 4-3), которое, по существу, определяется временем затухания свободных колебаний до некоторой малой величины, при которой практически можно считать Частное решение описывает вынужденные колебания (установившийся режим), определяемые входным воздействием и динамическими свойствами средств измерений. Отсюда следует, что динамическая погрешность в переходном режиме определяется составляющими а в установившемся — только составляющей Значения динамической погрешности при указанных режимах могут существенно различаться.

Порядок уравнения (4-44) определяется динамическими свойствами средства измерений и в общем случае может быть высоким. Дифференциальные уравнения высокого порядка могут быть представлены системой дифференциальных уравнений более низкого порядка. По существу, это означает представление сложного в динамическом смысле средства измерений более простыми. Как показано в § 4-5, сложные средства измерений условно могут быть разбиты на звенья в зависимости от их свойств, в том числе и динамических. В этом случае для исследования динамических свойств средств измерений широко используются динамические звенья первого и второго порядков.

Динамическое звено первого порядка описывается уравнением

где — постоянная времени звена первого порядка. Применяют также параметр называемый граничной частотой. Для такого звена при известном относительно просто определяется

При измерениях решается обратная задача — по реакции звена находится измеряемая величина Рассмотрим одну из возможных оценок максимальной динамической погрешности при следующих ограничениях на входное воздействие: диапазон изменения входного сигнала от до спектр входного сигнала ограничен частотой . Такая форма задания входных сигналов часто используется на практике.

На основании уравнений (4-46) — (4-48) динамическая погрешность по входу звена первого порядка определяется выражением Да: Максимальное значение модуля этой погрешности Для оценки можно воспользоваться неравенством С. Н. Бернштейна (см. § 4-4): где — модуль максимально возможного значения сигнала на выходе звена; — максимально возможный коэффициент передачи для звена первого порядка. Для такого звена, как будет показано далее (см. стр. 91), Следовательно

На основании этого выражения определим максимальную приведенную (к диапазону изменения сигнала) погрешность

Динамическое звено второго порядка описывается уравнением

где — частота собственных колебаний звена; — коэффициент демпфирования, или степень успокоения, — характеристика звена, значение которой существенно влияет на характер динамических процессов, протекающих в таком звене.

Используя (4-51), (4-46) и неравенство (см. § 4-4), можно записать выражения для динамической погрешности по входу звена второго порядка

и ее максимальной оценки для указанных выше условий

Значение коэффициента соответствующего максимальному отклонению здесь также неизвестно. Более того, для звена второго порядка в общем случае может быть как меньше, так и больше (см. стр. 92). При принятых ограничениях на максимальную частоту спектра входных сигналов по амплитудно-частотным характеристикам (см. рис. 4-18) можно определить максимальное значение в заданном диапазоне частот и подставить его в выражение (4-52) для оценки динамической погрешности. Приведем выражение для оценки максимальной приведенной погрешности звеньев, имеющих (30,7, для которых Считая и подставляя это значение в выражение (4-52), получим

Необходимо иметь в виду, что выражения (4-50) и (4-53) дают завышенную оценку (оценку сверху) максимальной динамической погрешности. Поэтому их следует применять при небольших отношениях при которых значения погрешностей относительно невелики.

Рис. 4-12. Переходная (а) и весовая (б) функции некоторого средства измерений

Полученные оценки можно использовать для установившегося динамического режима при ограниченном спектре входного сигнала. Для переходного режима возникают трудности в определении максимальной частоты сот. Так, при подключении в некоторый момент времени сигнала входное воздействие имеет неограниченный спектр. Кроме того, некоторые сигналы имеют в установившемся режиме например когда входной сигнал по форме близок к прямоугольным импульсам. В этих случаях целесообразно использовать переходные и импульсные переходные характеристики.