Частотные характеристики.

Частотные методы анализа основаны на исследовании прохождения гармонических колебаний различных частот через средства измерений. Если на вход линейного устройства подать сигнал то выходной сигнал можно записать в виде Отношение

называют амплитудно-фазовой характеристикой. Амплитуднофазовую характеристику можно получить из дифференциального уравнения (4-44), подставив в него выражения и решив полученное уравнение относительно

Следует иметь в виду, что представляет собой частное решение дифференциального уравнения и поэтому амплитуднофазовая характеристика непосредственно определяет только установившийся режим.

На практике широкое распространение получила амплитудно-частотная характеристика

и фазово-частотная характеристика

Из выражения (4-65) получают выражения для типовых звеньев.

Идеальное безынерционное звено имеет

Звено первого порядка (см. рис. 4-17)

Звено второго порядка (см. рис. 4-18)

Рис. 4-17. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характеристики звена первого порядка

Для звена второго порядка вид АЧХ и ФЧХ существенно зависит от степени успокоения При в относительно широком диапазоне частот (см. рис. 4-18) К Этот режим важен для многих практических применений средств измерений. При наблюдаются резонансные явления для частот близких

Ясная физическая интерпретация и относительная простота экспериментального определения послужили причиной широкого применения частотных характеристик в измерительной технике.

Рис. 4-18. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характеристики звена второго порядка

Рис. 4.19. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характеристики некоторого средства измерений

Рассмотрим возможность оценки динамических погрешностей по известным АЧХ и ФЧХ средств измерений для сигнала заданного диапазоном изменения от до и частотным диапазоном . Предположим, что средство измерений имеет такие АЧХ и как показано на рис. 4-19. Для частот

О — соср характеристики , где — время задержки выходного сигнала. Частоту называют частотой среза (на практике с некоторой заданной погрешностью). Для частот характеристика имеет нелинейную зависимость от частоты.

Сначала оценим влияние на динамическую погрешность только Для этого условно примем При очевидно, погрешность не возникает, так как каждая гармоническая составляющая передается с одним и тем же коэффициентом при сот они передаются с что приводит к искажению а следовательно, и появлению погрешности. Для каждой гармонической составляющей относительная погрешность

где — значение АЧХ на частоте Можно показать, что для полигармонического сигнала при условии максимальная приведенная погрешность будет определяться выражением

где -максимальная разность коэффициентов передачи в пределах диапазона частот , определяемая по АЧХ средства измерений.

Теперь рассмотрим влияние ФЧХ на результаты измерений. Примем условно во всем диапазоне

Рис. 4-20. Выходные сигналы реального и идеального средства измерений

рассматриваемых частот. При имеем . В тех случаях, когда требуется «жесткая привязка» результатов измерений во времени, возникает погрешность вызванная фазовым сдвигом. Из рис. 4-20 видно, что при эта погрешность максимальна при

Если представляет собой сумму гармонических составляющих при условии то максимально возможная погрешность

где — максимальный фазовый сдвиг в диапазоне частот , определяемый по Отсюда максимальная приведенная погрешность

В некоторых измерительных задачах задержка выходного сигнала во времени несущественна или она может быть учтена в процессе обработки результатов измерений. Важной в таких задачах является точная передача формы сигнала. Так, если сместить сигнал (см. рис. 4-20), точно отражающий характер изменения на время то он полностью совпадает с сигналом и в этом смысле погрешность будет отсутствовать. Для сложного сигнала с диапазоном частот , лежащим в пределах линейной фазовой характеристики , возникает аналогичная картина, поскольку каждая

Рис. 4-21. Аппроксимация фазово-частотной характеристики линейной зависимостью

гармоническая составляющая смещается во времени на постоянную величину 13 В этом случае считают, что динамическая погрешность равна нулю. Если фазовая характеристика нелинейна, то гармонические составляющие смещаются на различное время задержки что приводит к искажению формы выходного сигнала, а следовательно, смещение в этом случае не исключает погрешности. Определить эту погрешность в общем случае достаточно сложно. Приближенно ее можно оценить, проводя некоторую линейную ФЧХ, аппроксимирующую реальную ФЧХ (рис. 4-21) с максимальными погрешностями Такая ФЧХ будет соответствовать сдвигу сигнала на некоторое время, определяемое ее наклоном. Оценить погрешность, вызванную нелинейностью ФЧХ измерительного звена, можно по формуле (4-76), подставляя в нее вместо

В общем случае на динамическую погрешность влияет как АЧХ, так и ФЧХ измерительного звена. Точное определение суммарной погрешности является относительно сложной задачей. В качестве оценки сверху для общей динамической погрешности может быть принята сумма этих двух составляющих. Однако следует иметь в виду, что данная оценка является достаточно «грубой», поскольку во многих случаях общая погрешность принципиально меньше суммы рассматриваемых составляющих. Так, при моногармоническом сигнале максимальные значения этих составляющих всегда разнесены во времени и, следовательно, общая погрешность будет меньше суммы их максимальных значений.