14-3. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

В практике измерений часто встает задача определения результирующей (суммарной) погрешности по известным значениям составляющих этой погрешности.

При рассмотрении составляющих погрешности как случайных величин, результирующую погрешность следует определять по правилу суммирования случайных величин. Это правило основано на известных из теории вероятностей положениях:

1) математическое ожидание (систематическая погрешность) результирующей погрешности определяется алгебраической суммой математических ожиданий (систематических погрешностей) составляющих (14-1);

2) дисперсия результирующей погрешности определяется согласно (14-4) выражением

где — дисперсия составляющей погрешности; — число суммируемых составляющих погрешностей; гц — коэффициент корреляции между составляющими, знак под суммой означает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания составляющих погрешностей, для которых

Нахождение результирующей систематической погрешности

по известным систематическим погрешностям суммируемых составляющих не вызывает трудностей. Использование же выражения (14-34) для расчета затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают равным нулю, если случайные составляющие можно считать независимыми, или равным единице со знаком плюс или минус, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей. Рассмотрим подробнее суммирование случайных погрешностей.

Суммирование случайных погрешностей при нормальных законах их распределения.

Будем считать, что результирующая погрешность измерения состоит из случайных составляющих, имеющих нормальный закон распределения; границы доверительного интервала случайной составляющей.

Зная доверительную вероятность и доверительный интервал для каждой составляющей погрешности, можно найти среднее квадратическое отклонение каждой из них по формуле

где — коэффициент, взятый из таблиц для нормального распределения и соответствующий доверительной вероятности Если доверительная вероятность для всех составляющих одинакова и равна Р, то, используя выражения (14-34) и (14-35), получаем:

а) для коррелированных составляющих (гц равен или — 1)

где знак означает, что для составляющих с положительной корреляцией и нужно брать со знаком а для составляющих с отрицательной корреляцией — со знаком

б) для независимых составляющих ()

При суммировании составляющих, имеющих нормальный закон распределения, результирующая погрешность будет иметь тоже нормальный закон распределения. Поэтому границы доверительного интервала результирующей погрешности с доверительной вероятностью Р

С учетом (14-36) и (14-37) выражение (14-38) принимает вид

а) для коррелированных составляющих

б) для независимых составляющих

Если в выражении (14-39) все составляющие имеют положительную корреляцию, то

Суммирование погрешностей по выражению (14-41) называется арифметическим суммированием, а по выражению (14-40) — геометрическим суммированием.

Действительные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности.

Если для суммируемых составляющих погрешностей известны их предельные значения, то предельное значение результирующей погрешности находят путем арифметического суммирования предельных значений составляющих.

Суммирование случайных погрешностей при их законах распределения, отличных от нормального.

Трудность нахождения суммарной погрешности в этом случае заключается в том, что закон ее распределения зависит от конкретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Например, при сложении двух независимых случайных погрешностей, имеющих равномерные законы распределения с одинаковыми дисперсиями, результирующая погрешность будет распределяться по треугольному закону. Если же эти равномерные законы имеют разные дисперсии, то результирующая погрешность будет распределяться по трапецеидальному закону. Поэтому для установления доверительного интервала результирующей погрешности необходимо в каждом конкретном случае искать методами теории вероятностей закон распределения результирующей погрешности.

Зная закон распределения результирующей погрешности, можно найти доверительный интервал этой погрешности по выражению, аналогичному (14-38):

где — коэффициент, зависящий от закона распределения результирующей погрешности и доверительной вероятности Р.

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления закона распределения результирующей погрешности.

Первый способ базируется на центральной предельной теореме: если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при то закон распределения результирующей погрешности близок к нормальному и в качестве коэффициента можно принимать

Второй способ основан на исследовании, показавшем, что при суммировании независимых составляющих, имеющих законы распределения, изложенные в ГОСТ 8.011-72, можно пользоваться приближенными значениями при доверительной вероятности коэффициент 1,6, а при доверительной вероятности При этом погрешность в определении не превышает