3.4. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Результат сложения двух чисел представленных в форме с плавающей запятой, должен быть тоже числом вида При этом для слагаемых и результата должно выполняться равенство

Так как числа с разными порядками суммировать нельзя, то для сложения двух чисел, представленных в нормальной форме, необходимо предварительно их привести к общему порядку, т. е. преобразовать одно из слагаемых, например В, следующим образом:

После этого можно вынести степень основания системы за скобки и выполнить сложение мантисс

Преобразованная мантисса должна быть правильной дробью с тем, чтобы при сложении ничем не отличаться от обычных (непреобразованных) мантисс. Поэтому преобразованию подвергается всегда меньшее слагаемое, так как в противном случае происходит переполнение разрядной сетки мантиссы преобразуемого числа. При этом часть разрядов преобразуемой мантиссы может теряться. Поэтому арифметические действия над числами с плавающей запятой являются по своей сути приближенными, а не точными.

При сложении чисел в нормальной форме можно выделить четыре этапа.

На первом этапе уравниваются порядки слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, а мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо на соответствующее количество разрядов. С этой целью производится вычитание порядков чисел. Знак и модуль разности будут определять соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовывать и на сколько разрядов следует сдвинуть их мантиссу. При этом младшие разряды мантиссы могут пропадать, вследствие чего в слагаемое, сдвигаемое вправо, вносится погрешность.

На втором этапе производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов: дополнительный или обратный.

На третьем этапе выполняется сложение мантисс по правилам сложения чисел с фиксированной запятой.

На четвертом этапе производится нормализация результатов (в случае необходимости), затем результат переводится в прямой код, к нему приписывается общий порядок слагаемых и выполняется округление мантиссы результата.

В зависимости от абсолютных величин мантисс слагаемых сумма может получиться: нормализованной, денормализованной вправо, денорма изованной влево (переполнение).

Следует отметить, что положительные нормализованные числа всегда имеют 1 в разряде а отрицательные числа, записанные инверсным кодом, имеют 0 в разряде Поэтому у нормализованных чисел значения цифр разрядов с весами не совпадают ни для положительных чисел, ни для изображений отрицательных

чисел. Вследствие этого несовпадение цифр в знаковых разрядах свидетельствует о денормализации влево (переполнение), а совпадение цифр знакового и старшего разряда мантиссы — о нарушении нормализации вправо.

При переполнении (денормализации результата влево) мантисса результата сдвигается на один разряд вправо, а порядок увеличивается на единицу, так как сумма двух мантисс может быть денормализована влево не более чем на 1 разряд. В то же время при денормализации вправо мантисса сдвигается влево до появления в старшем разряде при значении знака 0, или 0 при I в знаковом разряде, а из порядка вычитается число единиц, равное числу сдвигов мантиссы. Такой порядок действий обусловливается тем, что количество разрядов, на которое может нарушиться нормализация вправо, ничем не ограничено.

Обычно количество сдвигов влево ограничивают числом разрядов сумматора, так как процесс сдвигов при таком порядке действий может оказаться бесконечным, если в результате алгебраического сложения мантисс получен нуль. В этом случае после выполнения предельного числа сдвигов мантиссу результата представляют машинным нулем. Мантиссу результата представляют также машинным нулем, если в процессе ее сдвига влево порядок числа окажется меньше допустимого, т. е. абсолютная величина результата будет меньше, чем минимально возможное машинное число. Однако приравнивание результата нулю при отрицательном переполнении порядка допустимо только в отдельных случаях, когда результат должен складываться со значительно большей величиной. Если исчезновение порядка не отмечается каким-то образом, то могут возникнуть неожиданные ситуации, когда а обусловленные ограниченностью разрядной сетки мантиссы и округлением результатов.

При сложении может произойти истинное переполнение разрядной сетки числа, т. е. переполнение разрядной сетки порядка. В этом случае минимум одно из слагаемых должно иметь максимальный порядок, а мантисса результата должна получиться денормализованной влево. При этом в ЭВМ формируется сигнал переполнения порядка.

Таким образом, после суммирования мантисс обоих слагаемых с выравненными порядками сначала следует проверить, не нарушена ли нормализация влево, и если нарушена, то восстановить нормализацию. Если нормализация влево не нарушена, необходимо проверить, нет ли нарушения нормализации вправо, и в случае необходимости восстановить нормализацию.

Примеры. 1) Заданы Найти:

Нормализация: так как результат денормализован вправо на I разряд. Коррекция порядка: Перевод в прямой код и усечение мантиссы результата:

При выполнении сдвига влево необходимо следить, чтобы справа не было введено ошибок.

Результат денормализован влево, поэтому мантиссу сдвигаем вправо на один разряд Переводим в прямой код и производим усечение мантиссы

В системах команд современных ЭВМ имеется большой набор команд для выполнения операций сложения и вычитания как с длинными, так и с короткими операндами с нормализацией и без нормализации результата. Выполнение операций вычитания отличается от сложения тем, что в начале операции знак второго операнда искусственно меняется на обратный.

Так как нередко основание системы счисления берется равным , то при выравнивании порядков сдвиг производится на количество разрядов, кратное 4, В основной памяти и в АУ порядки и мантиссы хранятся в прямом коде. Поэтому в АУ мантиссы с одинаковыми знаками всегда складываются как положительные числа, а результату присваивается знак первого операнда. Если же знаки не равны, то при алгебраическом сложении мантисса вычитаемого преобразуется в инверсный код. Если результат от сложения кодов мантисс получается в дополнительном коде, то в конце выполнения операции он переводится в прямой код.

Переполнение, т. е. денормализадия влево, устраняется сдвигом мантиссы вправо на четыре разряда и увеличением порядка на единицу. Если возникает при этом переполнение порядка, то формируется требование прерывания. При нормализации влево может появиться характеристика меньше нуля (порядок меньше этом случае также вырабатывается требование прерывания, а порядку и мантиссе результата присваиваются нулевые значения.

Если в результате алгебраического сложения получилась мантисса, равная 0, то реакция ЭВМ на этот результат зависит от того, разрешено или нет прерывание при потере значимости. Знак суммы при нулевой мантиссе результата всегда положителен.