Глава 10. АБСТРАКТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ АВТОМАТЫ

10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Цифровом (дискретный) автомат можно трактовать как устройство, осуществляющее прием, храпение и преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. С определенной точки зрения к автоматам можно отнести как реальные устройства (вычислительные машины, живые организмы и т. п.), так и абстрактные системы (математические машины, аксиоматические теории

Общую теорию автоматов подразделяют на абстрактную и структурную. Различие между ними заключается в том, что абстрактная теория, отвлекаясь от структуры автомата (т. е. не интересуясь способом его построения), изучает лишь поведение автомата относительно внешней среды. Абстрактная теория автоматов близка, таким образом, теории алгоритмов, являясь по существу ее дальнейшей детализацией. В противоположность абстрактной теории, структурная интересуется как структурой самого автомата, так и структурой входных воздействий и реакций автомата на них. В структурной теории изучаются способы построения автоматов, способы кодирования входных воздействий и реакций автомата. Таким образом, структурная теория автоматов является продолжением и дальнейшим развитием абстрактной теории. Опираясь на аппарат булевых функций и на абстрактную теорию автоматов, структурная теория дает эффективные рекомендации по разработке реальных устройств вычислительной техники.

Абстрактный цифровой автомат А определяется совокупностью пяти объектов где — множество входных сигналов автомата А (входной алфавит автомата А); — множество состояний автомата А (алфавит состояний автомата — множество выходных сигналов автомата А (выходной алфавит автомата А); — функция переходов

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

автомата А, задающая отображение т. е. ставящая в соответствие любой паре элементов декартового произведения множеств элемент множества — функция выходов автомата А, задающая либо отображение либо отображение

Иныш словами, функция переходов показывает, что автомат А, находясь в некотором состоянии при появлении входного сигнала , переходит в некоторое состояние Последнее может быть записано также и выражением Функция выходов задающая отображение показывает, что автомат Л, находясь в некотором состоянии при появлении входного сигнала , выдает выходной сигнал Последнее может быть записано выражением

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. В абстрактном автомате Мили функция выходов X задает отображение . В абстрактном автомате Мура функция выходов задает отображение абстрактном С-автомате вводятся две функции выходов X, и задающие отображение соответственно. При этом алфавит выходов С-автомата либо

Произвольный абстрактный автомат Милан или Мура имеет один входной и один выходной каналы (рис. 10.1). Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходных канала (рис. 10.2).

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов и функция выходов определены для всех пар

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний 5 выделяется специальное начальное со стояние т. е. инициальный абстрактный автомат определяется совокупностью шести объектов Выделение на множестве начального состояния объясняется чисто практическими соображениями, связанными с возникающей часто необходимостью фиксировать условия начала работы автомата.

Говорят, что абстрактный автомат функционирует в дискретном автоматном времени , и переходы из состояния в состояние осуществляются мгновенно. В каждой момент дискретного времени автомат находится в некотором состоянии из множества состояний Если автомат инициальный, то в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент находясь в состоянии автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита соответствии с функцией выходов X он выдаст в тот же момент времени букву выходного алфавита и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее

состояние Согласно определению абстрактного автомата, автомат Мили в этом случае характеризуется системой уравнений:

автомат Мура — системой уравнений;

а С-автомат — системой уравнений:

Иными словами, если на вход инициального абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две ледовательности: абстрактном С-автомате выходной сигнал выдается все премии пока лнтомит находится в состоянии Выходной сигнал им лаетея во время действия входного сигнала при нахождении С-автомата и состоянии

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Понятие состояния в определении абстрактного автомата введено в связи с тем, что большинство реальных процессов, которыми управляют реально построенные цифровые автоматы, требуют для своего правильного течения знания предыстории развития процесса во времени. Иными словами, выходной сигнал, выдаваемый автоматом в данный момент времени, определяется не только входным воздействием на автомат, но и состоянием, в котором автомат в этот момент времени находился Например, если нужно построить автомат управления переключением светофора при условии, что на вход автомата поступает только сигнал «переключить светофор», то в каждый момент времени для организации правильной работы автомата, кроме входного сигнала «переключить светофор», необходимо иметь информацию о положении светофора в предшествующий момент времени. Эта информация и обеспечивается наличием различных состояний абстрактного автомата. Абстрактные цифровые автоматы, соответствующие введенному определению абстрактного автомата, называют также абстрактными автоматами с памятью, так как существование в автомате множества различных его состояний возможно только при наличии у автомата памяти.

Ряд процессов, которыми управляют реальные автоматы, не требуют для своего правильного течения знания предустории развития процесса во времени. В автоматах, управляющих такими процессами,

Таблица 10.1

выходной сигнал определяется только входным воздействием на автомат. У казанные автоматы на абстрактном уровне представления определяются с помощью тройки , где функция выходов задает отображение и называются абстрактными автоматами с тривиальной памятью либо комбинационными автоматами. Простейшим аналогом комбинационного автомата можно ечитать обыкновенный электрический фонарь при условии, что входным воздействием является нажатие кнопки «Вкл», а выходным сигналом — зажигание лампочки фонаря.

Алфавиты входов, состояний и выходов автоматов задаются, как обычные множества, например, перечислением своих элементов. Функции переходов и выходов могут быть заданы матрично, графически и аналитически. Поэтому любой абстрактный автомат может быть задан тремя способами! матрично, графически и аналитически

При матричном способе автомат представляется либо двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, либо матрицей соединений Таблица переходов задает отображение т. е. определяет функцию переходов автомата Таблица выходов, в зависимости от типа рассматриваемого автомата, задает либо отображение либо , т. е. определяет функцию выходов автомата.

Таблица переходов произвольного полностью определенного абстрактного автомата строится следующим образом. Столбцы таблицы помечаются буквами входного алфавита автомата, а строки таблицы — буквами алфавита состояний автомата. В клетке таблицы переходов, находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием ставится состояние являющееся результатом перехода автомата из состоянии под воздействием входного сигнала что определяется выражением Пример, таблицы переходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом и алфавитом состояний представлен в табл. 10.1. Если абстрактный автомат частичный, то в клетке таблицы его переходов, находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием (при условии, что переход из состояния под воздействием входного сигнала неопределен), ставится прочерк, и любое входное слово, приводящее к указанному переходу, является запрещенным. Заполнение остальных клеток аналогично случаю полностью определенного автомата. Пример таблицы переходов некоторого абстрактного частичного автомата с входным алфавитом и алфавитом состояний представлен в табл. 10.2. Вид таблицы переходов не зависит от типа задаваемого автомата (автомат Мура, Мили, С-автомат). Таблицы выходов автомата Мура, Мили, С-автомата имеют различия. Таблица выходов полностью определенного автомата Мили строятся следующим образом. Идентификация столбцов и строк, а также формат таблицы соответствует таблице переходов полностью определенного автомата. В клетке таблицы выходов,

Таблица 10.2

Таблица 10.3

Таблица 10.4

находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием ставится выходной сигнал который автомат Мили выдает, находясь в состоянии при наличии входного сигнала что определяется выражением Пример таблицы выходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата Мили с входным алфавитом алфавитом состояний и выходным алфавитом представлен в табл. 10.3.

Таблица выходов полностью определенного автомата Мура строится более просто: каждому состоянию автомата приписывается свой выходной сигнал. Пример таблицы выходов автомата Мура с алфавитом состояний и выходным алфавитом представлен в табл 10.4.

Очевидно, абстрактный полностью определенный С-автомат задается двумя таблицами выходов, первая из которых ечть таблица выходов автомата Мили, а вторая — таблица выходов автомата Мура.

Если автомат Мили частичный, то в некоторых клетках его таблицы выходов может стоять прочерк, означающий отсутствие выходного сигнала. При этом прочерк обязательно ставится в тех клетках таблицы выходов, которые соответствуют таким же клеткам с прочерком в таблице переходов автомата Мили. Последнее связано с тем, что если в частичном автомате Мили имеется пара ) и такая, что переход из состояния под воздействием входного сигнала неопределеи, то, естественно, неопределено и значение выходного сигнала на таком (несуществующем) переходе. Пример таблицы выходов частичного автомата Мили, заданного таблицей переходов (табл. 10.2) с выходным алфавитом представлен в табл. 10.5

Прочерки в некоторых клетках таблицы выходов частичного автомата Мура не связаны с прочерками в клетках его таблицы переходов. Это определяется тем, что выходной сигнал автомата Мура зависит только от состояния, в котором находится автомат. Например, таблица выходов частичного автомата Мура, заданного таблицей переходов (табл. 10.2),

Таблица 10.5

Таблица 10.6.

Таблица 10.7

может быть представлена и как табл. 10.4, если в каждом своем состоянии автомат выдает какой-то выходной сигнал, и как табл. 10.6, если значение выходного сигнала автомата для некоторых состояний неоиределено.

На практике таблицы переходов и выходов автомата часто совмещаются в одну таблицу, называемую отмеченной таблицей переходов автомата. Отмеченная таблица переходов полностью определенного автомата Мили, представленного таблицей переходов (табл. 10.1) и таблицей выходов (табл. 10.3), сведена в табл. 10.7. Отмеченная таблица переходов частичного автомата Мура (табл. 10.2) и таблица выходов (табл. 10.4), сведена в табл. 10.8.

Кроме рассмотренных выше таблиц переходов и выходов, произвольный абстрактный автомат может быть описан матрицей соединений. Такое описание — один из способов матричного задания абстрактных автоматов. Матрица соединений произвольного абстрактного автомата является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний имеет рассматриваемый автомат. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. Если автомат инициальный, то первый слева столбец и первая сверху строка матрицы его соединений помечаются буквой начального состояния автомата В клетке матрицы соединений, находящейся на пересечении столбца, помеченного буквой состояния и строки, помеченной буквой состояния автомата, ставится входной сигнал (или дизъюнкция входных сигналов), под воздействием которого осуществляется переход автомата из состояния в состояние Если матрицей соединения задается абстрактный автомат Милн, то рядом с буквой входного сигнала в скобках указывается буква выходного сигнала который автомат Мили выдает, осуществляя переход Матрица соединений некоторого автомата Мили, представленного отмеченной таблицей переходов (табл. 10.7), показана на рис. 10.3.

Если матрицей соединения задается абстрактный автомат Мура, то выходными сигналами помечаются состояния автомата, идентифицирующие строки матрицы соединений.

Таблица 10.8

Рис. 10.3

Рис. 10.4

Рис. 10.5

При графическом способе задания абстрактные автоматы представляются ориентированными графами; состояния автомата изображаются вершинами графа, а переходы между состояниями — дугами между соответствующими вершинами. При этом каждой дуге графа приписывается некоторая буква входного алфавита автомата, указывающая, что данный переход автомата осуществляется только при появлении входного сигнала и каждой вершине графа — буква соответствующего состояния автомата. Если графом изображается автомат Мила, то выходные сигналы автомата проставляются на дугах графа (в соответствии с таблицей выходов автомата) рядом с буквой входного сигнала. Пример графа автомата Мили, заданного таблицей переходов (табл. 10.1) и таблицей выходов (табл. 10.3), показан на рис. 10.4. Если графом изображается автомат Мура, то выходные сигналы автомата проставляются около вершин графа (в соответствии с таблицей выходов автомата). Пример графа автомата Мура, заданного таблицей переходов (табл. 10.2) и таблицей выходов (табл. 10.4), показан на рис. 10.5.

При аналитическом способе задания абстрактные автоматы представляются четверкой объектов где задает для каждого состояния автомата отображение . Другими словами, при аналитическом способе задания для каждого состояния автомата указывается отображение представляющее собой множество всех троек и таких, что под воздействием входного сигнала автомат осуществляет переход из состояния в состояние выдавая при этом выходной сигнал Применительно к общему определению абстрактного автомата, последнее равнозначно описанию функций и X в соответствии с выражениями: Отображение записывается следующим образом:

Аналитическое задание автомата Мили, представленного отмеченной таблицей переходов (табл. 10.7), имеет следующий вид.

Автомат

Рассмотрим эквивалентное преобразование автоматов. Эквивалентными называются автоматы, индуцирующие одно и то же отображение множества слов во входном алфавите в множество слов в выходном алфавите. Рассмотрим только преобразование автомата Мура в эквивалентный ему автомат Мили. Преобразование автомата Мили в эквивалентный ему автомат Мура осуществляется несколько сложнее.

Переход от автомата Мура к эквивалентному ему автомату Мили удобно осуществлять при графическом способе задания автоматов. В этом случае он сводится к переносу выходного сигнала выдаваемого автоматом Мура в состоянии на дуги, входящие в вершину, помеченную буквой При матричном способе задания таблица переходов автомата Мили совпадает с таблицей переходов автомата Мура, а таблица выходов автомата Мили получается из его таблицы переходов заменой буквы состояния находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки на выходной сигнал выдаваемый автоматом Мура в состоянии

Разработка реальных автоматов (представленных хотя бы на уровне принципиальных электрических схем) требует их задания сначала на абстрактном уровне с последующим переходом на структурный уровень, учитывающий используемые в схеме автомата логические элементы и связи между ними. В связи с этим возникает задача синтеза абстрактного автомата, исходя из какого-то начального, например, словесного описания его работы. Существующие алгоритмы синтеза абстрактных автоматов на практике обычно не используются из-за сложности и громоздкости вычислеиий и поэтому не включены в материал учебника. Однако для лучшего уяснения понятия абстрактного автомата и способов его задания здесь рассмотрим пример синтеза абстрактного автомата, основываясь на чисто умозрительных соображениях.

Пример. Построить абстрактный цифровой автомат управления переключением спетофора при условии, что на вход автомата поступает только сигнал «переключить светофор». Обозначим этот сигнал буквой а его отсутствие — буквой

Рис. 10.6

Рис. 10.7

Очевидно, входной алфавит X такого автомата будет состоять из двух букв: Так как синтезируемый автомат должен обеспечивать переключение светофора в красный, желтый и зеленый цвет, то введем три соответствующих выходных сигнала управления Положим также, что в момент начала функционирования автомат находится в состоянии Алгоритм работы тривиален; возможное решение для автомата Мили показано на рис. 10.6, а для автомата Мура — на рис. 10.7. Для (упрощения полагаем, что в начальный момент времени автомат Мура выдает выходной сигнал «включить зеленый цвет». Отметим, что для построения графа автомата потребуется ввести четыре различных состояния. Число состояний можно уменьшить, например увеличив число входных сигналов автомата либо расширив возможности автомата в плане запоминания предыстории развития процесса управления во времени (в рассматриваемом примере запоминается только момент выдачи последнего выходного сигнала).

В заключение отметим, что мы рассматриваем только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Автомат, заданный таблицей переходов, всегда детерминированный, так как на пересечении столбца и строки таблицы переходов записывается только одно состояние если переход определен, и ставится прочерк, если переход не определен. Применительно к графическому способу задания автомата условие однозначности означает, что в графе автомата из любой вершины не может выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом.