2.2. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Например, в десятичной системе счисления число 777 содержит три одинаковые цифры, но значение каждой из них определяется их позицией.

Позиционные системы имеют ряд достоинств по сравнению с непозиционными, основным из которых является удобство выполнения арифметических операций.

В общем виде число А в позиционной системе счисления может быть представлено следующим образом:

где с, — цифра разряда числа, причем есть база системы счисления; основания системы счисления; вес разряда числа.

Как видно, такие системы строятся не только по принципу аддитивности, но и по принципу мультипликативности, т. е. количественный эквивалент числа определяется как сумма рядом стоящих цифр со своими весами.

Позиционные системы счисления в свою очередь разделяются на ряд подклассов.

Неоднородные позиционные системы счисления

В неоднородных позиционных системах счисления не зависят друг от друга и могут принимать любые значения, эти системы еще называют системами со смешанным основанием.

В неоднородных системах счисления в каждом разряде коли чество допустимых символов может быть различно, при этом

где основание системы счисления в разряде. Запись целого числа в таких системах производится в соответствии с (2.1).

Таблица 2.1

Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой: .

Например, время в 2 года, 25 суток, 14 часов, 35 минут, 48 секунд, выраженное в единицах младшего разряда, определится по (2.1):

Специально для применения в ЭВМ была создана неоднородная двоично-пятеричная система счисления, в которой в нечетных разрядах основание в четных разрядах основание Так как произведение двух соседних (четного и нечетного) разрядов равно 10, то двумя двоично-пятеричными разрядами можно кодировать одну десятичную цифру (табл. 2.1).

Пример. Записать число 39810 в двоично-пятеричной системе счисления: Здесь основания цифры Для вычисления количественного вквивалента числя подставим эти значения в (2.1).

Однородные позиционные системы счисления

Однородные позиционные системы счисления являются частным случаем позиционных систем при для всех т. е. в них веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов

геометрической прогрессии со знаменателем Поэтому число в однородных системах может быть представлено полиномом вида

или причем знаменатель геометрической прогрессии носит название основания системы счисления. Очевидно, что основанием однородной позиционной системы может быть любое целое число, так как в определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления. Например, десятичное число в троичной системе счисления с символами 0, 1, 2 будет иметь следующий вид:

Обычно число в однородной позиционной системе записывается в сокращенном виде:

а название системы определяет ее основание! десятичная, двоичная, восьмеричная и т. д.

Для любой позиционной системы счисления справедливо, что ее основание изображается символами 10 в своей системе, т. е. любое число в лвоей системе можно записать символами этой системы в виде

Правильная дробь в -ичной системе счисления будет иметь вид или

Таблица 2,2

Этим выражением пользуются при чтении десятичных дробей. Этим же приемом целесообразно пользоваться при чтении дробей с любым другим основанием

Некоторые числа, представленные в однородных системах с различными основаниями, приведены в табл. 2.2.

Из таблицы видно, что вес разряда числа в позиционной системе счисления представляет собой отношение Если разряд имеет вес то следующий старший разряд имеет вес , а младший — . Такая взаимосвязь разрядов требует передачи информации между ними (переносов при сложении и заемов при вычитании).