2.11. ТОЧНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭВМ

При решении различных задач требуется различная точность получаемых результатов. Так, при решении инженерных задач достаточна точность до 3—4 десятичных знаков (10—13 двоичных), при решении научных задач — 5—6 десятичных или 16—20 двоичных знаков и при решении особо точных задач — 8—9 десятичных, т. е. 25—30 двоичных разрядов.

При ограниченной длине машинных слов множество чисел, которые можно представить в машине, является конечным. Поэтому представление чисел в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей, величина которых зависит как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки. Необходимо отметить, что запас точности в ЭВМ берется обычно в раза больше, чем это необходимо, что обусловлено кроме всего прочего накоплением погрешностей в ходе вычислений.

Точность представления числа характеризуется абсолютной и относительной погрешностями.

Абсолютная погрешность — это разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения т. е.

Усредненная абсолютная погрешность представления чисел в машинах с фиксированной запятой определяется как среднее арифметическое между минимально представимым числом и его минимальной потерей, е.

т. е. в машинах с фиксированной запятой абсолютная погрешность постоянна и равна половине младшего разряда.

Относительная погрешность представления определяется как отношение усредненной абсолютной погрешности к самому числу:

Так как само число А меняется в пределах

то и относительная погрешность является величиной переменной, меняющейся соответственно в пределах

Для машин с фиксированной запятой она определяется следующим образом:

Таким образом, относительная погрешность для машин с фиксированной запятой зависит от величины числа и колеблется в пределах для больших чисел, до для малых чисел. Причем, при относительная погрешность может достигать

В машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления числа определяется следующим образом:

где — погрешность представления мантиссы, которая определяется так же, как абсолютная погрешность представления чисел в машине с фиксированной запятой, т. е. — порядок числа, который изменяется в пределах

Следовательно, в отличие от машин с фиксированной запятой, в машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления чисел зависит от порядка числа: минимальная при наибольшем отрицательном и максимальная при наибольшем положительном определяются следующим образом:

Относительная погрешность представления чисел в машинах с плавающей запятой определяется по общему правилу:

т. е. к не зависит от порядка числа и изменяется в пределах

Следовательно, в машинах с плавающей запятой, в отличие от машины с фиксированной запятой, относительная погрешность изображения чисел во всем диапазоне представления практически постоянна и для чисел с нормализованной мантиссой зависит от количества разрядов мантиссы: чем их больше, тем меньше погрешность представления.

В некоторых вычислительных средствах информационной единицей являются не отдельные числа, а их блоки или массивы, т. е. последовательности, состоящие из сотен и тысяч чисел. В этих случаях нередко применяется промежуточная форма представления чисел в ЭВМ, так называемое представление с поблочно плавающей запятой, при котором всему массиву чисел присваивается общий порядок и массив считается нормализованным, если хотя бы одно его слово является нормализованным. Естественно, что относительная погрешность

представления отдельных элементов массива будет при этом различной. Как и в случае представления с фиксированной запятой, максимальный по абсолютной величине элемент будет представлен с минимальной, в то время как минимальный по абсолютной величине элемент массива — с максимальной относительной погрешностью. Однако это не имеет существенного значения, так как основную информационную нагрузку в этих случаях несут максимальные элементы массивов. Вместе с тем благодаря представлению чисел с поблочно плавающей запятой удается при приемлемой точности вычислений значительно сократить объем оборудования, а главное — время выполнения операции, так как действия над порядками в этом случае выполняются только один раз за время обработки всего массива чисел.

Из этого следует, что нельзя отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел. Обычно в ЭВМ общего назначения применяют нормальную форму. Этим обеспечивается большой диапазон представления чисел, высокая точность вычислений, простота программирования. Усложнение аппаратуры этих ЭВМ имеет второстепенное значение,

В специализированных ЭВМ чаще применяют фиксированную или поблочно плавающую запятую, если информация обрабатывается отдельными массивами, так как эти формы обеспечивают простоту конструкции ЭВМ. Программа для этих ЭВМ составляется только один раз, диапазон изменения величин известен заранее, масштабные коэффициенты подбираются один раз, требуемая точность вычислений также известна заранее и определяет длину разрядной сетки.

В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных и десятичных чисел и выполнения операций над ними, что, например, необходимо для операций над кодами адресов (операции индексной арифметики).

В режиме с плавающей запятой обычно используется система счисления с основанием 16. В этом случае число А считается нормализованным, если хотя бы один из четырех старших двоичных разрядов отличен от 0. Это несколько уменьшает точность представления чисел, но позволяет резко увеличить диапазон представляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности нормализации, так как сдвиг мантиссы производится сразу на 4 разряда. При этом каждый сдвиг мантиссы на 4 разряда влево или вправо требует соответствующего изменения порядка шестнадцатиричного числа всего лишь на единицу.

Точность представления в этом случае повышают за счет использования формата двойной длины (представление с удвоенной точностью).

Для упрощения действий над порядками в ЕС ЭВМ, например, их сводят к операциям над целыми положительными числами, используя представление чисел со смещенным порядком (смещение на ). Например, при семи разрядах, отводимых на представление порядка плюс знаковый разряд), Тогда порядки диапазона

будут ограничиваться пределами

что соответствует

Смещенные порядки называют характеристиками, чтобы не путать действительные и условные величины. Так как все характеристики являются положительными, то это упрощает выполнение некоторых действий над ними, например, сравнения. Для этого вычитание из одной характеристики другой можно производить без предварительного анализа их знаков.