Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.11. ТОЧНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭВМПри решении различных задач требуется различная точность получаемых результатов. Так, при решении инженерных задач достаточна точность до 3—4 десятичных знаков (10—13 двоичных), при решении научных задач — 5—6 десятичных или 16—20 двоичных знаков и при решении особо точных задач — 8—9 десятичных, т. е. 25—30 двоичных разрядов. При ограниченной длине машинных слов множество чисел, которые можно представить в машине, является конечным. Поэтому представление чисел в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей, величина которых зависит как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки. Необходимо отметить, что запас точности в ЭВМ берется обычно в Точность представления числа характеризуется абсолютной и относительной погрешностями. Абсолютная погрешность — это разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения
Усредненная абсолютная погрешность представления чисел в машинах с фиксированной запятой определяется как среднее арифметическое между минимально представимым числом и его минимальной потерей,
т. е. в машинах с фиксированной запятой абсолютная погрешность постоянна и равна половине младшего разряда. Относительная погрешность представления определяется как отношение усредненной абсолютной погрешности к самому числу:
Так как само число А меняется в пределах
то и относительная погрешность является величиной переменной, меняющейся соответственно в пределах
Для машин с фиксированной запятой она определяется следующим образом:
Таким образом, относительная погрешность для машин с фиксированной запятой зависит от величины числа и колеблется в пределах В машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления числа определяется следующим образом:
где
Следовательно, в отличие от машин с фиксированной запятой, в машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления чисел зависит от порядка числа: минимальная при наибольшем отрицательном
Относительная погрешность представления чисел в машинах с плавающей запятой определяется по общему правилу:
т. е. к не зависит от порядка числа и изменяется в пределах
Следовательно, в машинах с плавающей запятой, в отличие от машины с фиксированной запятой, относительная погрешность изображения чисел во всем диапазоне представления практически постоянна и для чисел с нормализованной мантиссой зависит от количества разрядов мантиссы: чем их больше, тем меньше погрешность представления. В некоторых вычислительных средствах информационной единицей являются не отдельные числа, а их блоки или массивы, т. е. последовательности, состоящие из сотен и тысяч чисел. В этих случаях нередко применяется промежуточная форма представления чисел в ЭВМ, так называемое представление с поблочно плавающей запятой, при котором всему массиву чисел присваивается общий порядок и массив считается нормализованным, если хотя бы одно его слово является нормализованным. Естественно, что относительная погрешность представления отдельных элементов массива будет при этом различной. Как и в случае представления с фиксированной запятой, максимальный по абсолютной величине элемент будет представлен с минимальной, в то время как минимальный по абсолютной величине элемент массива — с максимальной относительной погрешностью. Однако это не имеет существенного значения, так как основную информационную нагрузку в этих случаях несут максимальные элементы массивов. Вместе с тем благодаря представлению чисел с поблочно плавающей запятой удается при приемлемой точности вычислений значительно сократить объем оборудования, а главное — время выполнения операции, так как действия над порядками в этом случае выполняются только один раз за время обработки всего массива чисел. Из этого следует, что нельзя отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел. Обычно в ЭВМ общего назначения применяют нормальную форму. Этим обеспечивается большой диапазон представления чисел, высокая точность вычислений, простота программирования. Усложнение аппаратуры этих ЭВМ имеет второстепенное значение, В специализированных ЭВМ чаще применяют фиксированную или поблочно плавающую запятую, если информация обрабатывается отдельными массивами, так как эти формы обеспечивают простоту конструкции ЭВМ. Программа для этих ЭВМ составляется только один раз, диапазон изменения величин известен заранее, масштабные коэффициенты подбираются один раз, требуемая точность вычислений также известна заранее и определяет длину разрядной сетки. В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных и десятичных чисел и выполнения операций над ними, что, например, необходимо для операций над кодами адресов (операции индексной арифметики). В режиме с плавающей запятой обычно используется система счисления с основанием 16. В этом случае число А считается нормализованным, если хотя бы один из четырех старших двоичных разрядов отличен от 0. Это несколько уменьшает точность представления чисел, но позволяет резко увеличить диапазон представляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности нормализации, так как сдвиг мантиссы производится сразу на 4 разряда. При этом каждый сдвиг мантиссы на 4 разряда влево или вправо требует соответствующего изменения порядка шестнадцатиричного числа всего лишь на единицу. Точность представления в этом случае повышают за счет использования формата двойной длины (представление с удвоенной точностью). Для упрощения действий над порядками в ЕС ЭВМ, например, их сводят к операциям над целыми положительными числами, используя представление чисел со смещенным порядком (смещение на
будут ограничиваться пределами
что соответствует Смещенные порядки называют характеристиками, чтобы не путать действительные и условные величины. Так как все характеристики являются положительными, то это упрощает выполнение некоторых действий над ними, например, сравнения. Для этого вычитание из одной характеристики другой можно производить без предварительного анализа их знаков.
|
1 |
Оглавление
|