Глава 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

2.1. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения (записи) чисел. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом — правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называют кодом числа. Кратко число записывается следующим образом!

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции — номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной. В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет различных значений, то разряд в числе рассматривается как -ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из значений.

Каждой цифре данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент — Количественный эквивалент числа А, заданного в определенной системе счисления, является некоторой функцией числовых эквивалентов всех его цифр,

Очевидно, что при любой конечной разрядной сетке количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от количественных эквивалентов отдельных разрядов значения от до

Диапазон представления чисел в данной системе счисления — это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):

Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

1) возможность представления любого числа в а дан ном диапазоне чисел;

2) однозначность представления;

3) краткость и простоту записи чисел;

4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперирования ею.

Рис. 2.1

В зависимости от целей применения используются различные системы. Например, человеком для счета и выполнения действий над числами применяется десятичная система счисления, для исчисления времени — система счисления времени, для нумерации — римская система счисления, в вычислительной технике обычно используется двоичная система счисления и т. д. В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 2.1).

В основном системы счисления строятся по следующему принципу:

где — запись числа в системе с базисом — база или последовательность цифр системы счисления с -ичным алфавитом; — базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы).

База системы счисления может быть положительной, и тогда в ней в качестве значений цифр используется набор цифр

Она может быть также смешанной и тогда в ней наряду с положительными цифрами имеются и отрицательные. Например, для симметричной базы с нулем число положительных значений цифр равно числу отрицательных. Значения цифр алфавита в этом случае при (т. е. при нечетном основании) составляют следующий ряд:

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Системы счисления со смешанной базой могут быть и при четном основании, но тогда возможно либо применение симметричных алфавитов без нуля (например, при возможен алфавит либо алфавитов, у которых число отрицательных значений цифр не равно числу положительных (например, при возможен алфавит —1, 0, 1,2).

Базис системы счисления — это совокупность весов отдельных разрядов системы счисления. Например, базис десятичной системы

представляет собой последовательность: Вес разряда числа в любой системе счисления — это отношение Поэтому цифру разряда с большим называют более значимой, чем цифру разряда с меньшим

Непозиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от ее начертания, но не от позиции в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т. е. количественный эквивалент числа определяется как сумма рядом стоящих цифр!

где — символы, образующие базис системы

Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные. Иероглифические — это такие системы счисления, у которых каждая цифра представлена своим символом, значком или иероглифом. Наиболее известной из них является римская система счисления.

Значение записанного числа в римской системе определяется как сумма записанных подряд цифр, причем, если слева от цифры стоит меньшая, то значение последней принимается со знаком минус, например, т. е. здесь существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В настоящее время римская система используется, в основном, для целей нумерации. Запись чисел в алфавитных системах строится по такому же принципу.

К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:

1) отсутствие нуля;

2) необходимость содержания бесконечного количества символов;

3) сложность арифметических действий с числами.