5.3. АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В последнее время существенно возрос интерес к теории функций комплексного переменного, особенно в связи с появлением теории цифровой обработки сигналов как самостоятельной дисциплины. В рамках этой теории возможно не только выполнение задач спектрального анализа, но и решение дифференциальных и интегральных уравнений при помощи преобразования Лапласа или Фурье, исследование систем автоматического управления, расчет электрических цепей и т. Алгоритмы решения задач перечисленных классов требуют выполнения действий над комплексными числами.

В ЭВМ комплексное число может быть представлено минимум парой вещественных чисел. Этому удовлетворяют три формы: алгебраическая, полярная и показательная. Предпочтение отдают обычно алгебраической форме (т. е. представлению комплексного числа А в виде

где — вещественные числа, а — мнимая единица, удовлетворяющая условию так как в этой форме просто выполняется наиболее часто встречающаяся операция алгебраического сложения комплексных чисел Л и В как две операции сложения в инверсных кодах соответствующих действительных и мнимых частей этих чисел:

Как известно, произведение комплексных чисел вычисляется в соответствии с выражением

Таблица 5.1

Таблица 5.2

для реализации которого требуется выполнить четыре операции умножения и две операции алгебраического сложения вещественных чисел. Вместе с тем это произведение можно записать, представив мантиссу одного из сомножителей, например В, в двоичной системе счисления

Изменив порядок суммирования, можно записать

Из выражения (5.7) видно, что выражения в скобках, в зависимости от сочетания цифр разрядах будут принимать следующие значения (табл. 5.1).

Вычислив предварительно указанную таблицу и анализируя последовательно друг за другом одноименные разряды действительной и мнимой частей комплексного числа В, по сочетанию цифр в этих разрядах можно из таблицы определить соответствующие им значения, которые, будучи сложенными с соответственно сдвинутыми суммами частичных произведений, образуют полное произведение комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел, представленных дополнительными кодами, выполняется коррекция результата, как и при умножении вещественных чисел, При этом в случае произвольных знаков чисел выражение (5.7) запишется в виде

В качестве критерия оценки эффективности описанного алгоритма примем количество сложений, которое необходимо для вычисления произведения комплексных чисел обычным способом и по МВТ

Экономия вычислений составляет

а коэффициент выигрыша

Обычно деление комплексных чисел записывается следующим образом:

Используя МВТ, а также учитывая тот факт, что число содержится как в знаменателе, так и в числителе, табл. 5.2 удобно считать для В.

Тогда получим

Отсюда следуют, что для деления комплексных чисел при помощи МВТ необходимо вычислить всего одну таблицу, что позволяет свести к минимуму число подготовительных операций.

Следует отметить, что в специализированных ЭВМ, предназначенных для выполнения операций комплексной арифметики может оказаться более целесообразным представление чисел по комплексному основанию [16, 24]. Например, система по основанию позволяет любое комплексное число представить при помощи цифр 0, 1,2 и 3, причем тех же цифр, взятых со знаком минус, не требуется. Система получила название мнимочетверичной.

Пример. Перевести число А в десятичную систему:

т. е. число равно

Поэтому перевод числа в мнимочетверичную форму и обратно сводится к переводу в минус - четверичную форму и обратно.

Интересное свойство этой системы состоит в том, что она допускает выполнение умножения и деления комплексных чисел целостным образом без раздельного рассмотрения вещественных и мнимых частей. Например, умножим два числа этой системы, как при любом другом основании, используя несколько иное правило переноса: в случае, если цифра становится больше 4, вычитаем 4 и переносим на два столбца влево, а когда получается отрицательная цифра, прибавим к ней 4 и переносим на два столбца влево.

Пример. Заданы Получить произведение

Можно построить аналогичные системы по основанию и другим