§ 5. Кинематика вращательного движения

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот.

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направления поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него (рис. 5.1), мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (вращая головку правого винта по часовой стрелке, мы вызовем его перемещение от себя).

В § 2 было показано (см. рис. 2.1), что повороты на конечные углы складываются не по правилу параллелограмма и поэтому не являются векторами. Иначе обстоит дело для поворотов на очень малые углы . Путь, прбходимый любой точкой тела при очень малом повороте, можно считать прямолинейным (рис. 5.2).

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Рис. 5.5.

Поэтому два совершаемых последовательно малых поворота обусловливают, как видно из рисунка, такое же перемещение любой точки тела, как и поворот получаемый из сложением по правилу параллелограмма. Отсюда следует, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы (мы будем эти векторы обозначать символами или ). Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела. Следовательно, является не истинным вектором, а псевдовектором.

Векторная величина

(где — время, за которое совершается поворот ) называется угловой скоростью тела. Угловая скоростью направлена вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 5.3), и представляет собой псевдовектор. Модуль угловой скорости равен Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Если вращение является равномерным, то , где — конечный угол поворота за время . Таким образом, при равномерном вращении показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол

Поскольку промежутку времени соответствует угол поворота , то

откуда

Число оборотов в единицу времени v, очевидно, равно

Из (5.4) следует, что угловая скорость равна умноженным на число оборотов в единицу времени:

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под мгновенным значением Т то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости, а под v понимая то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Пусть за время вектор получает приращение Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется величиной

которую называют угловым ускорением. Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v. Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости v определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис. 5.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь Линейная скорость точки равна

Таким образом,

Формула (5.7) связывает модули линейной и угловой скоростей. Найдем выражение, связывающее векторы v и .

Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиусом-вектором , проведенным из лежащего на оси вращения начала координат О (рис. 5.5). Из рисунка видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектором v и имеет модуль, равный Следовательно,

Модуль нормального ускорения точек вращающегося тела равен . Подставив сюда значение v из (5.7), получим:

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор R, проведенный в данную точку тела (см. рис. 5.5), соотношению (5.9) можно придать векторный вид:

Минус в этой формуле стоит потому, что векторы и R имеют противоположные направления.

Предположим, что ось вращения тела не поворачивается в пространстве. Согласно (4.7) модуль тангенциального ускорения равен . Воспользовавшись соотношением (5.7) и учтя, что расстояние рассматриваемой точки тела от оси вращения , можно написать:

где — модуль углового ускорения. Следовательно, модуль тангенциального ускорения связан с модулем углового ускорения соотношением

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния точки от оси вращения.