§ 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Если в формуле (1) предыдущего параграфа положим то получим:

Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле (1) у на —у, получим

Из равенств (1) и (2) найдем cos у и sin у.

Последними формулами пользуются, в частности, для выражения степеней и их произведений через синус и косинус кратных дуг.

Пример 1.

Пример 2.

Показательная форма комплексного числа. Представим комплексное число в тригонометрической форме:

где г —модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа. По формуле Эйлера

Следовательно, всякое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Пример 3. Представить числа 1, i, —2, —i в показательной форме. Решение.

На основании свойств (3), (6), (7) § 4 показательной функции легко производятся действия над комплексными числами в показательной форме.

Пусть имеем . Тогда

этот результат совпадает с формулой (3) § 2.

эта формула совпадает с формулой (5) § 2.

эта формула совпадает с формулой (1) § 3.

эта формула совпадает с формулой (2) § 3.